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线段的垂直平分线

1、教材分析

(1)知识结构

(2)重点、难点分析

本节内容的重点是线段垂直平分线定理及其逆定理. 定理反映了线段垂直平分线的性质,是证明两条线段相等的依据;逆定理反映了线段垂直平分线的判定,是证明某点在某条直线上及一条直线是已知的依据.

本节内容的难点是定理及逆定理的关系. 垂直平分线定理和其逆定理,题设与结论正好相反. 学生在应用它们的时候,容易混淆,帮助学生认识定理及其逆定理的区别,这是本节的难点.

2、  教法建议

本节课教学模式主要采用“学生主体性学习”的教学模式. 提出问题让学生想,设计问题让学生做,错误原因让学生说,方法与规律让学生归纳. 教师的作用在于组织、点拨、引导,促进学生主动探索,积极思考,大胆想象,总结规律,充分发挥学生的主体作用,让学生真正成为教学活动的主人. 具体说明如下:

(1)参与探索发现,领略知识形成过程

学生前面,学习过线段垂直平分线的概念,这样由复习概念入手,顺其自然提出问题:在垂直平分线上任取一点P,它到线段两端的距离有何关系?学生会很容易得出“相等”. 然后学生完成证明,找一名学生的证明过程,进行投影总结. 最后,由学生将上述问题,用文字的形式进行归纳,即得线段垂直平分线定理. 这样让学生亲自动手实践,积极参与发现,激发了学生的认识冲突,使学生克服思维和探求的惰性,获得锻炼机会,对定理的产生过程,真正做到心领神会.

(2)采用“类比”的学习方法,获取逆定理

线段垂直平分线的定理及逆定理的证明都比较简单,学生学习一般没有什么困难,这一节的难点仍然的定理及逆定理的关系,为了很好的突破这一难点,教学时采用与角的平分线的性质定理和逆定理对照,类比的方法进行教学,使学生进一步认识这两个定理的区别和联系.

(3) 通过问题的解决,让学生学会从不同角度分析问题、解决问题;让学生学会引申、变更问题,以培养学生发现问题、提出问题的创造性能力.

教学目标 

1、知识目标:

(1)掌握的性质定理及其逆定理;

(2)能运用它们证明两条线段相等或两条直线互相垂直;

2、能力目标:

(1)通过例题的学习,提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力;

(2)提高综合运用知识的能力.

3、情感目标:

(1)通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;;

(2)通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.

教学重点:线段垂直平分线定理及其逆定理

教学难点 :定理及逆定理的关系 

教学用具:直尺,微机

教学方法:以学生为主体的讨论探索法

教学过程 

1、新课背景知识复习

(1)线段垂直平分线的概念

(2)问题:(投影显示)

如图,CD是线段AB的垂直平分线,P为CD上任意一点,PA、PB有何关系?为什么?

整个过程,由学生完成. 找一名学生代表回答上述问题并

投影显示学生的证明过程.

2、定理的获得

让学生用文字语言将上述问题表述出来.

定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.

强调说明:线段垂直平分线性质定理是证明线段相等的一条依据,在计算、作图中也有重要作用.

学生根据上述学习,提出自己的问题(待定)

学习完一个重要知识点,给学生留有一定的时间和机会,提出问题,然后大家共同分析讨论.

3、逆定理的获得

类比角平分线逆定理获得的过程,让学生讲解下一环节所要学习研究的内容.

这一过程,完全由学生自己通过小组的形式,代表到台前讲解.

逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条上.

强调说明:定理与逆定理的联系与区别

相同点:结构相同、证明方法相同

不同点:用途不同,定理是用来证线段相等

4、定理与逆定理的应用

(1)讲解例1(投影例1)

例1 如图,△ABC中,∠C= ,∠A= ,AB的在垂线交AC于D,交AB于E

求证:AC=3CD

证明:∵DE垂直平分AB

∴AD=BD

∴∠1=∠A=

∴∠2=

∴CD= BD

∴CD= AD

∴AD=2CD

即AC=3CD

讲解例2(投影例2 )

例2:在△ABC中,AB=AC,AB的中垂直线与AC所在直线相交所得的锐角为 ,求底角B的大小.

(学生思考、分析、讨论,教师巡视,适当参与讨论)

解:(1)当AB的中垂线MN与AC相交时,如图(1),

∵∠ADE= ,∠AED=

∴∠A= -∠AED= - =

∵AB=AC ∴∠B=∠C

∴∠B=

(2)当的中垂线与的延长线相交时,如图(2)

∵∠ADE= ,∠AED=

∴∠BAE=-∠AED=-=

∵AB=AC ∴∠B=∠C

∴∠B=

例3 (1)在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N,交BC的延长线于M,∠A= ,求∠NMB的大小

(2)如果将(1)中∠A的度数改为 ,其余条件不变,再求∠NMB的大小

(3)你发现有什么样的规律性?试证明之.

(4)将(1)中的∠A改为钝角,对这个问题规律性的认识是否需要加以修改

解:(1)∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠B=

∵∠BNM=

(2)如图,同(1)同理求得

(3)如图,∠NMB的大小为∠A的一半

5、课堂小结:

(1)线段垂直平分线性质定理和逆定理

(2)在应用时,易忽略直接应用,往往又重新证三角形的全等,使计算或证明复杂化.

6、布置作业 :

书面作业 P119#2、3

思考题:已知:如图,AD是△ABC的角平分线,DE、DF分别是△ABD和△ACD的高

求证:AD垂直平分EF

证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC

∴DE=DF

∴D在线段EF的垂直平分线上

在Rt△ADE和Rt△ADF中

∴Rt△ADE≌Rt△ADF

∴AE=AF

∴A点也在线段EF的垂直平分线上

∵两点确定一条直线

∴直线AD就是线段EF的垂直平分线

板书设计 

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