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平行线等分线段定理

教学建议

1.

定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他需直线上截得的线段也相等.

注意事项:定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组;它是由三条或三条以上的平行线组成.

定理的作用:可以用来证明同一直线上的线段相等;可以等分线段.

2.的推论

推论1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰.

推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边。

记忆方法:“中点”+“平行”得“中点”.

推论的用途:(1)平分已知线段;(2)证明线段的倍分.

重难点分析

本节的重点是.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础,而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础.

本节的难点也是.由于学生初次接触到,在认识和理解上有一定的难度,在加上的两个推论以及各种变式,学生难免会有应接不暇的感觉,往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生,教师在教学中要加以注意.

教法建议

的引入

生活中有许多的例子,并不陌生,的引入可从下面几个角度考虑:

①从生活实例引入,如刻度尺、作业 本、栅栏、等等;

②可用问题式引入,开始时设计一系列与概念相关的问题由学生进行思考、研究,然后给出和推论.

 

教学设计示例

一、教学目标 

1. 使学生掌握及推论.

2. 能够利用任意等分一条已知线段,进一步培养学生的作图能力.

3. 通过定理的变式图形,进一步提高学生分析问题和解决问题的能力.

4. 通过本节学习,体会图形语言和符号语言的和谐美

二、教法设计

学生观察发现、讨论研究,教师引导分析

三、重点、难点

1.教学重点:

2.教学难点 :

四、课时安排

l课时

五、教具学具

计算机、投影仪、胶片、常用画图工具

六、师生互动活动设计

教师复习引入,学生画图探索;师生共同归纳结论;教师示范作图,学生板演练习

七、教学步骤 

【复习提问】

1.什么叫平行线?平行线有什么性质.

2.什么叫平行四边形?平行四边形有什么性质?

【引入新课】

由学生动手做一实验:每个同学拿一张横格纸,首先观察横线之间有什么关系?(横线是互相平等的,并且它们之间的距离是相等的),然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线 ,看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系?(相等,为什么?)这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线 ,测量它被相邻横线截得的线段是否也相等?

(引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题,教师总结,由此得到)

:如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.

注意:定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线,即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组,这一点必须使学生明确.

下面我们以三条平行线为例来证明这个定理(由学生口述已知,求证).

已知:如图,直线 , .

求证: .

分析1:如图把已知相等的线段平移,与要求证的两条线段组成三角形(也可应用平行线间的平行线段相等得 ),通过全等三角形性质,即可得到要证的结论.

(引导学生找出另一种证法)

分析2:要证的两条线段分别是梯形的腰,我们借助于前面常用的辅助线,把梯形转化为平行四边形和三角形,然后再利用这些熟悉的知识即可证得 .

证明:过 点作 分别交 、 于点 、 ,得 和 ,如图.

∵ ,

又∵ , ,

为使学生对定理加深理解和掌握,把知识学活,可让学生认识几种定理的变式图形,如图(用计算机动态演示).

   

引导学生观察下图,在梯形 中, , ,则可得到 ,由此得出推论 1.

推论1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰.

再引导学生观察下图,在 中, , ,则可得到 ,由此得出推论2.

推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.

注意:推论1和推论2也都是很重要的定理,在今后的论证和计算中经常用到,因此,要求学生必须掌握好.

接下来讲如何利用来任意等分一条线段.

例  已知:如图,线段 .

求作:线段 的五等分点.

作法:①作射线 .

②在射线 上以任意长顺次截取 .

③连结 .

④过点 . 、 、 分别作 的平行线 、 、 、 ,分别交 于点 、 、 、 .

  、 、 、 就是所求的五等分点.

(说明略,由学生口述即可)

【总结、扩展】

小结:

(l)及推论.

(2)定理的证明只取三条平行线,是在较简单的情况下证明的,对于多于三条的平行线的情况,也可用同样方法证明.

(3)定理中的“平行线组”,是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组.

(4)应用定理任意等分一条线段.

八、布置作业 

教材P188中A组2、9

九、板书设计 

十、随堂练习

教材P182中1、2

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