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下学期 5.3实数与向量的积2

(第二课时)

一.教学目标 

1.了解平面向量基本定理的证明.掌握平面向量基本定理及其应用;

2.能够在解题中适当地选择基底,使其它向量能够用选取的基底表示.

二.教学重点:平面向量基本定理

教学难点 :理解平面向量基本定理.

三.教学具准备

直尺、投影仪.

四.教学过程 

1.设置情境

上节课我们学习了共线向量的基本定理,通过它们判定两个向量是否平行,而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来.这个非零向量叫基向量.那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢?如果是这样的话,对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了.

2.探索研究

师:向量 与非零向量 共线的充要条件是什么?

生:有且仅有一个实数 ,使得

师:如何作出向量

生:在平面上任取一点 ,作 ,则

师:对!我们知道向量 是向量 的合成, 也可以看做是由向量 的分解,是不是每一个向量都可以分解两个不共线的向量呢?

平面向量基本定理:如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 使

我们把不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

说明:①实数 的确定是由平面几何作图得到的,同时也应用了上节课的共线向量基本定理.

②对该定理重在使用.

下面看例题

【例1】已知向量 ,求作 .

【例2】如图所示, 的两条对角线相交于点 ,且 ,用 表示

解:在

说明:①这些表示方法很常用,要熟记

②用向量法讨论几何问题,关键是选取适当的基向量表示其他向量,本题的基底就是 ,由它可以“生”成 ,…….

【例3】如图所示,已知 的两条对角线 交于 是任意一点,求证

证明:∵ 是对角线 的交点

.在△ 中,

同理:

相加可得:

注:本题也可以取基本向量 ,利用三角形中线公式(向量),得 两种表示方式:

①+②得 证毕.

【例4】如图所示 不共线, ),用 表示 .

  

说明:①本题是个重要题型:设 为平面上任一点.

则: 三点共线

或令 三点共线 (其中

②当 时, 常称为△ 的中线公式(向量式).

3.演练反馈

1)命题 :向量 共线;命题 :有且只有一个实数 ,使 ;则 的(     

A.充分不必要条件               B.必要不充分条件

C.充要条件                     D.不充分不必要条件

2)已知 不共线,若 共线,则实数 的值等于____________.

3)如图△ 中,点 的中点,点 在边 上,且 相交于点 ,求 的值.

参考答案:

1B 2

3)解:(如图)设 ,则

,∵ 分别共线,∴存在 ,使 .

,而 .

∴由基本定理得 ,即

4.总结提炼

1)当平面内取定一组基底 后,任一向量 都被 惟一确定,其含义是存在惟一这数对 ,使 ,则必有 .

2)三点 共线 (其中

五.板书设计