(第二课时)
一.教学目标
1.了解平面向量基本定理的证明.掌握平面向量基本定理及其应用;
2.能够在解题中适当地选择基底,使其它向量能够用选取的基底表示.
二.教学重点:平面向量基本定理
教学难点 :理解平面向量基本定理.
三.教学具准备
直尺、投影仪.
四.教学过程
1.设置情境
上节课我们学习了共线向量的基本定理,通过它们判定两个向量是否平行,而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来.这个非零向量叫基向量.那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢?如果是这样的话,对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了.
2.探索研究
师:向量 与非零向量 共线的充要条件是什么?
生:有且仅有一个实数 ,使得
师:如何作出向量 ?
生:在平面上任取一点 ,作 , ,则
师:对!我们知道向量 是向量 与 的合成, 、 也可以看做是由向量 的分解,是不是每一个向量都可以分解两个不共线的向量呢?
平面向量基本定理:如果 、 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 , 使
我们把不共线的向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
说明:①实数 , 的确定是由平面几何作图得到的,同时也应用了上节课的共线向量基本定理.
②对该定理重在使用.
下面看例题
【例1】已知向量 、 ,求作 .
【例2】如图所示, 的两条对角线相交于点 ,且 , ,用 、 表示 、 、 和 ?
解:在 中
∵
∴
说明:①这些表示方法很常用,要熟记
②用向量法讨论几何问题,关键是选取适当的基向量表示其他向量,本题的基底就是 、 ,由它可以“生”成 , ,…….
【例3】如图所示,已知 的两条对角线 与 交于 , 是任意一点,求证
证明:∵ 是对角线 和 的交点
∴ , .在△ 中,
同理:
相加可得:
注:本题也可以取基本向量 , , , ,利用三角形中线公式(向量),得 两种表示方式:
①
②
①+②得 证毕.
【例4】如图所示 、 不共线, ( ),用 , 表示 .
解 ∵
∴
说明:①本题是个重要题型:设 为平面上任一点.
则: 、 、 三点共线
或令 , 则 、 、 三点共线 (其中 )
②当 时, 常称为△ 的中线公式(向量式).
3.演练反馈
(1)命题 :向量 与 共线;命题 :有且只有一个实数 ,使 ;则 是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.不充分不必要条件
(2)已知 和 不共线,若 与 共线,则实数 的值等于____________.
(3)如图△ 中,点 是 的中点,点 在边 上,且 , 与 相交于点 ,求 的值.
参考答案:
(1)B (2)
(3)解:(如图)设 , ,则 ,
,∵ 、 、 和 、 、 分别共线,∴存在 、 ,使 , .
故 ,而 .
∴由基本定理得 ∴ ∴ ,即
4.总结提炼
(1)当平面内取定一组基底 , 后,任一向量 都被 、 惟一确定,其含义是存在惟一这数对 ,使 ,则必有 且 .
(2)三点 、 、 共线 (其中 且 )
五.板书设计