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子集、全集、补集


教学目标 

1)理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念;
2)了解全集、空集的意义,
3)掌握有关的符号及表示方法,会用它们正确表示一些简单的集合,培养学生的符号表示的能力;
4)会求已知集合的子集、真子集,会求全集中子集在全集中的补集;
5)能判断两集合间的包含、相等关系,并会用符号及图形(文氏图)准确地表示出来,培养学生的数学结合的数学思想;
6)培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力.

教学重点子集、补集的概念

教学难点 弄清元素与子集、属于与包含之间的区别

教学用具:幻灯机

教学过程 设计

(一)导入  新课

上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识.

【提出问题】(投影打出)

已知 ,问:

1.哪些集合表示方法是列举法.
2.哪些集合表示方法是描述法.
3.将集M、集从集P用图示法表示.
4.分别说出各集合中的元素.
5.将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来.将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来.
6.集M中元素与集N有何关系.集M中元素与集P有何关系.

【找学生回答】

1.集合M和集合N;(口答)
2.集合P;(口答)
3.(笔练结合板演)

4.集M中元素有-11;集N中元素有-113;集P中元素有-11.(口答)
5. (笔练结合板演)
6.集M中任何元素都是集N的元素.集M中任何元素都是集P的元素.(口答)

【引入】在上面见到的集M与集N;集M与集P通过元素建立了某种关系,而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现,本节将研究有关两个集合间关系的问题.

(二)新授知识

1.子集
1子集定义:一般地,对于两个集合AB,如果集合A任何一个元素都是集合B的元素,我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A
记作:    读作:A包含于BB包含A

当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时,则记作:A BB A.
性质:① (任何一个集合是它本身的子集)
(空集是任何集合的子集)

【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合?
【解疑】不能把AB的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合.
因为B的子集也包括它本身,而这个子集是由B的全体元素组成的.空集也是B的子集,而这个集合中并不含有B中的元素.由此也可看到,把AB的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的.

2集合相等:一般地,对于两个集合AB,如果集合A任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,记作A=B
例: ,可见,集合 ,是指AB的所有元素完全相同.

3真子集:对于两个集合AB,如果 ,并且 ,我们就说集合A是集合B真子集,记作: (或 ),读作A真包含于BB真包含A

【思考】能否这样定义真子集:“如果AB的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集.”
集合
B同它的真子集A之间的关系,可用文氏图表示,其中两个圆的内部分别表示集合AB.

【提问】

1 写出数集NZQR的包含关系,并用文氏图表示。
2 判断下列写法是否正确
  A A

性质:

1)空集是任何非空集合的真子集。若 A ,且A ,则 A
2)如果 ,则 .
写出集合 的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.
解:集合 的所有的子集是 ,其中 的真子集.

【注意】(1)子集与真子集符号的方向。

       2)易混符号

①“ ”与“ ”:元素与集合之间是属于关系;集合与集合之间是包含关系。如 R{1} {123}
{0} {0}是含有一个元素0的集合, 是不含任何元素的集合。
                如: {0}。不能写成 ={0} {0}

2 见教材P8(解略)

判断下列说法是否正确,如果不正确,请加以改正.

1 表示空集;
2)空集是任何集合的真子集;
3 不是
4 的所有子集是
5)如果 ,那么B必是A的真子集;
6 不能同时成立.
解:(1 不表示空集,它表示以空集为元素的集合,所以(1)不正确;
2)不正确.空集是任何非空集合的真子集;
3)不正确. 表示同一集合;
4)不正确. 的所有子集是
5)正确
6)不正确.当 时, 能同时成立.


用适当的符号( )填空:

1
2
3
4)设 ,则A    B     C.

解:(10     0     
2
3  
4ABC均表示所有奇数组成的集合,∴ABC.

【练习】教材P9

用适当的符号( )填空:
1              5   
2          6   
3          7   
4         8    .

解:(1 ;(2 ;(3 ;(4 ;(5)=;(6 ;(7 ;(8 .

提问:见教材P9例子

(二) 全集与补集

1.补集:一般地,设S是一个集合,AS的一个子集(即 ),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集),记作 ,即

.

AS中的补集 可用右图中阴影部分表示.

性质: S SA=A

如:(1)若S={123456}A={135},则 SA={246}
2)若A={0},则 NA=N*
3 RQ是无理数集。

2.全集:

如果集合S中含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,全集通常用 表示.

注: 是对于给定的全集 而言的,当全集不同时,补集也会不同.
例如:若 ,当 时, ;当 时,则 .

设全集 ,判断 之间的关系.

解:∵

练习:见教材P10练习

1.填空:

,那么 .

解:

2.填空:

1)如果全集 ,那么N的补集
2)如果全集, ,那么 的补集 =         .
解:(
1 ;(2 .

(三)小结:本节课学习了以下内容:

1.五个概念(子集、集合相等、真子集、补集、全集,其中子集、补集为重点)
2.五条性质
1)空集是任何集合的子集。Φ A
2)空集是任何非空集合的真子集。Φ A≠Φ)
3)任何一个集合是它本身的子集。
4)如果 ,则 .
5 S SA=A

3.两组易混符号:(1)“ ”与“ ”:(2{0}

(四)课后作业 :见教材P10习题1.2

(五)板书设计 

课题

一、知识点

(一)

(二)

例题: