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下学期 4.10 正切函数的图象和性质2

4.10 正切函数的图象和性质

第二课时

(一)教学具准备

投影仪

(二)教学目标 

运用正切函数图像及性质解决问题.

(三)教学过程 

1.设置情境

本节课,我们将综合应用正切函数的性质,讨论泛正切函数的性质.

2.探索研究

(1)复习引入

师:上节课我们学习了正切函数的作图及性质,下面请同学们复述一下正切函数 的主要性质

生:正切函数 ,定义域为 ;值域为 ;周期为 ;单调递增区间 , .

(2)例题分析

【例1】判断下列函数的奇偶性:

(1) ; (2) ;

分析:根据函数的奇偶性定义及负角的诱导公式进行判断.

解:(1)∵ 的定义域为 关于原点对称.

∴ 为偶函数

(2)∵ 的定义域为 关于原点对称,且 且 ,

∴ 即不是奇函数又不是偶函数.

说明:函数具有奇、偶性的必要条件之一是定义域关于原点对称,故难证 或 成立之前,要先判断定义域是否关于原点对称.

【例2】求下列函数的单调区间:

(1) ; (2) .

分析:利用复合函数的单调性求解.

解:(1)令 ,则

∵ 为增函数, 在 , 上单调递增,

∴ 在 ,即 上单调递增.

(2)令 ,则

∵ 为减函数, 在 上单调递增,

∴ 在 上单调递减,即 在 上单调递减.

【例3】求下列函数的周期:

(1) (2) .

分析:利用周期函数定义及正切函数最小正周期为 来解.

解:(1)

∴周期

(2)

∴周期

师:从上面两例,你能得到函数 的周期吗?

生:周期

【例4】有两个函数 , (其中 ),已知它们的周期之和为 ,且 , ,求 、 、 的值.

解:∵ 的周期为 , 的周期为 ,由已知 得

∴函数式为 , ,由已知,得方程组

即 解得

∴ , ,

[参考例题]求函数 的定义域.

解:所求自变量 必须满足

       ( )

                ( )

故其定义域为

3.演练反馈(投影)

(1)下列函数中,同时满足①在 上递增;②以 为周期;③是奇函数的是(      )

A. B. C. D.

(2)作出函数    ,且 的简图.

(3)函数 的图像被平行直线_______隔开,与 轴交点的横坐标是__________,与 轴交点的纵坐标是_________,周期________,定义域__________,它的奇偶性是_____________.

参考答案:(1)C.

(2)

如图

(3) ( ); ,( );1; ; ;非奇非偶函数.

4.总结提炼

(1) 的周期公式 ,它没有极值,正切函数在定义域上不具有单调性(非增函数),了不存在减区间.

(2)求复合函数 的单调区间,应首先把 、 变换为正值,再用复合函数的单调性判断法则求解.

(四)板书设计 

课题——

例1

例2

例3

例4

[参考例题]

演练反馈

总结提炼