函数单调性的运用
体验回顾 :
1. 函数 满足 对任意定义域中的x1, x2成立,则实数a的取值范围是_______________;
2.设函数 ,若对于任意 ,
不等式 恒成立,则实数 的取值范围是 .
经典训练 :
【题型一】解抽象函数不等式问题
例1:定义在实数集 上的偶函数 在区间 上是单调增函数,若 ,则 的取值范围是______.
练习:设 是定义在( 上的增函数,且满足 .若 ,且 ,求实数 的取值范围.
练习:函数 是定义在 上的奇函数,且为增函数,若 ,求实数a的范围。
练习; 设 是定义在r上的奇函数,且当 时, ,若对任意的 ,不等式 恒成立,则实数 的取值范围是 .
解析:因为 且 ,所以 ,又 ,所以 ,再由 可知, .又因为 是定义在 上的增函数,从而有 ,解得: .故所求实数 的取值范围为 .
解: 定义域是 即
又
是奇函数
在 上是增函数 即
解之得 故a的取值范围是
【题型二】数列中的单调性
例2:数列 的通项 ,为了使不等式 对任意 恒成立的充要条件.
解:∵ ,
则 ,
欲使得题设中的不等式对任意 恒成立,
只须 的最小项 即可,
又因为 ,
即只须 且 ,
解得 ,
即 ,解得实数 应满足的关系为 且 .
练习:数列 满足: ,记 ,若 对任意的 恒成立,则正整数 的最小值为 。10;
易得: ,令 ,而
,为减数列,
所以: ,而 为正整数,所以
练习:设函数 数列 的通项 .满足
(1).求数列 的通项公式.
(2).数列 有没有最小项.
课后作业:
1.定义在 ,且 ,若不等式 对任意 恒成立,则实数a的取值范围
解:依题设 ,且 ,则
则 ( )
所以 ,即 ,从而函数 在 单调递减
所以不等式
即 恒成立,又 ,从而 ,从而 ,又 ,所以 ,从而实数a的取值范围为
2. 已知 ,t是大于0的常数,且函数 的最小值为9,则t的值为 .4
3.已知数列 是由正数组成的等差数列, 是其前 项的和,并且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)求使不等式 对一切 均成立的最大实数 ;
(3)对每一个 ,在 与 之间插入 个 ,得到新数列 ,设 是数列 的前 项和,试问是否存在正整数 ,使 ?若存在求出 的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)设 的公差为 ,由题意 ,且
,
数列 的通项公式为
(2)由题意 对 均成立
记
则
,
∴ ,∴ 随 增大而增大
∴ 的最小值为
∴ ,即 的最大值为
(3)
∴在数列 中, 及其前面所有项之和为
,即
又 在数列 中的项数为:
且 ,
所以存在正整数 使得