能力素质
例1 判定以下关系是否正确
(2){1,2,3}={3,2,1}
(4)0∈{0}
分析 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的,后两个都是错误的.
说明:含元素0的集合非空.
例2 列举集合{1,2,3}的所有子集.
分析 子集中分别含1,2,3三个元素中的0个,1个,2个或者3个.
含有1个元素的子集有{1},{2},{3};
含有2个元素的子集有{1,2},{1,3},{2,3};
含有3个元素的子集有{1,2,3}.共有子集8个.
________.
分析 a中必含有元素a,b,又a是{a,b,c,d}真子集,所以满足条件的a有:{a,b},{a,b,c}{a,b,d}.
答 共3个.
说明:必须考虑a中元素受到的所有约束.
[ ]
分析 作出4图形.
答 选c.
说明:考虑集合之间的关系,用图形解决比较方便.
点击思维
例5 设集合a={x|x=5-4a+a2,a∈r},b={y|y=4b2+4b+2,b∈r},则下列关系式中正确的是
[ ]
分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题,事实上
x=5-4a+a2=(2-a)2+1≥1,
y=4b2+4b+2=(2b+1)2+1≥1,所以它们的值域是相同的,因此a=b.
答 选a.
说明:要注意集合中谁是元素.
m与p的关系是
[ ]
a.m= up b.m=p
分析 可以有多种方法来思考,一是利用逐个验证(排除)的方法;二是利用补集的性质:m= un= u( up)=p;三是利用画图的方法.
答 选b.
说明:一题多解可以锻炼发散思维.
例7 下列命题中正确的是
[ ]
a. u( ua)={a}
分析 d选择项中a∈b似乎不合常规,而这恰恰是惟一正确的选择支.
是由这所有子集组成的集合,集合a是其中的一个元素.
∴a∈b.
答 选d.
说明:选择题中的选项有时具有某种误导性,做题时应加以注意.
例8 已知集合a={2,4,6,8,9},b={1,2,3,5,8},又知非空集合c是这样一个集合:其各元素都加2后,就变为a的一个子集;若各元素都减2后,则变为b的一个子集,求集合c.
分析 逆向操作:a中元素减2得0,2,4,6,7,则c中元素必在其中;b中元素加2得3,4,5,7,10,则c中元素必在其中;所以c中元素只能是4或7.
答 c={4}或{7}或{4,7}.
说明:逆向思维能力在解题中起重要作用.
学科渗透
例9 设s={1,2,3,4},且m={x∈s|x2-5x+p=0},若 sm={1,4},则p=________.
分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论,由于 sm={1,4},
∴m={2,3}则由韦达定理可解.
答 p=2×3=6.
说明:集合问题常常与方程问题相结合.
例10 已知集合s={2,3,a2+2a-3},a={|a+1|,2}, sa={a+3},求a的值.共2页,当前第1页12
s这个集合是集合a与集合 sa的元素合在一起“补成”的,此外,对这类字母的集合问题,需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用.
解 由补集概念及集合中元素互异性知a应满足
在(1)中,由①得a=0依次代入②③④检验,不合②,故舍去.
在(2)中,由①得a=-3,a=2,分别代入②③④检验,a=-3不合②,故舍去,a=2能满足②③④.故a=2符合题意.
说明:分类要做到不重不漏.
高考巡礼
[ ]
a.m=n
d.m与n没有相同元素
分析 分别令k=…,-1,0,1,2,3,…得
答 选c.
说明:判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性
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