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下学期 4.4 同角三角函数的基本关系式

同角三角函数的基本关系式

教学目标 :

1.掌握同角三角函数之间的三组常用关系,平方关系、商数关系、倒数关系.

2.会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式.

教学重点:

理解并掌握同角三角函数关系式.

教学难点 :

已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值时正负号的选择;

教学用具:

直尺、投影仪.

教学步骤 :

1.设置情境

与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函数之间关系,弄清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化.

2.探索研究

1)复习任意角三角函数定义

上节课我们已学习了任意角三角函数定义,如图1所示,任意角 的六个三角函数是如何定义的呢?

的终边上任取一点 ,它与原点的距离是 ,则角 的六个三角函数的值是:

        

        

2)推导同角三角函数关系式

观察 ,当 时,有何关系?

有没有商数关系?

通过计算发现 互为倒数:∵ .

由于

这些三角函数中还存在平方关系,请计算 的值.

由三角函数定义我们可以看到: .

,现在我们将同角三角函数的基本关系式总结如下:

①平方关系:

②商数关系:

③倒数关系:

即同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角 的正切,同一个角的正切、余切之积等于1(即同一个角的正切、余切互为倒数).上面这三个关系式,我们称之为恒等式,即当 取使关系式两边都有意义的任意值时,关系式两边的值相等,在第二个式中, 在第三个式中, 的终边不在坐标轴上,这时式中两边都有意义,以后解题时,如果没有特别说明,一般都把关系式看成是意义的.其次,在利用同角三角函数的基本关系式时,要注意其前提“同角”的条件.

3)同角三角函数关系式的应用

同角三角函数关系式十分重要,应用广泛,其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数,求出这个角的其他三角函数值.

【例1】已知 ,且 是第二象限角,求 的值.

解:∵ ,且 ,∴ 是第二或第三象限角.

如果 是第二象限角,那么

如果 是第三象限角,那么

说明:本题没有具体指出 是第几象限的角,则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角,再分象限加以讨论.

【例2】已知 ,求 的值.

解: ,且 是第二或第三象限角.

如果 是第二象限角,那么

如果 是第三象限角,那么 .

说明:本题没有具体指出 是第几象限角,则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角,再分象限加以讨论.

【例3】已知 为非零实数,用 表示 .

解:因为 ,所以

又因为 ,所以

于是    

为非零实数,可知角 的终边不在坐标轴上,考虑 的符号分第一、第四象限及第二、三象限,从而:

在三角求值过程中应尽量避免开方运算,在不可避免时,先计算与已知函数有平方关系的三角函数,这样可只进行一次开方运算,并可只进行一次符号说明.

同角三角函数关系式还经常用于化简三角函数式,请看例4

【例4】化简下列各式:

1 ;(2 .

解:(1               2

                    

                       

3.演练反馈(投影)

1)已知: ,求 的其他各三角函数值.

2)已知 ,求 .

3)化简:

解答:(1)解:∵ ,所以 是第二、第三象限的角.

如果 是第二象限的角,则:

    

如果 是第三象限的角,那么

          

     

2)解:∵    是第二或第四象限的角

由【例3】的求法可知当 是第二象限时

是第四象限时

3)解:原式

4.本课小结

1)同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”,因此 …….

2)诸如 ,……它们都是条件等式,即它们成立的前提是表达式有意义.

3)利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角所在象限确定符号,即要就角所在象限进行分类讨论.

课时作业 :

1.已知 ,则 等于(     

A.        B.       C.          D.

2.若 ,则 的值是(     

A.-2        B.2         C2            D.

3.化简

4.化简 ,其中 为第二象限角.

5.已知 ,求 的值.

6.已知 是三角形的内角, ,求 值.

参考答案1.D 2.B 3.1 4. 5.3 6.

注:4.略解:原式

在第二象限

.

6.略解:

,平方得,

是三角形内角

∴只有

,联立,得: