同角三角函数的基本关系式
教学目标 :
1.掌握同角三角函数之间的三组常用关系,平方关系、商数关系、倒数关系.
2.会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式.
教学重点:
理解并掌握同角三角函数关系式.
教学难点 :
已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值时正负号的选择;
教学用具:
直尺、投影仪.
教学步骤 :
1.设置情境
与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函数之间关系,弄清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化.
2.探索研究
(1)复习任意角三角函数定义
上节课我们已学习了任意角三角函数定义,如图1所示,任意角 的六个三角函数是如何定义的呢?
在 的终边上任取一点 ,它与原点的距离是 ,则角 的六个三角函数的值是:
; ;
; ;
(2)推导同角三角函数关系式
观察 及 ,当 时,有何关系?
当 且 时 、 及 有没有商数关系?
通过计算发现 与 互为倒数:∵ .
由于 ,
这些三角函数中还存在平方关系,请计算 的值.
由三角函数定义我们可以看到: .
∴ ,现在我们将同角三角函数的基本关系式总结如下:
①平方关系:
②商数关系:
③倒数关系:
即同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角 的正切,同一个角的正切、余切之积等于1(即同一个角的正切、余切互为倒数).上面这三个关系式,我们称之为恒等式,即当 取使关系式两边都有意义的任意值时,关系式两边的值相等,在第二个式中, 在第三个式中, 的终边不在坐标轴上,这时式中两边都有意义,以后解题时,如果没有特别说明,一般都把关系式看成是意义的.其次,在利用同角三角函数的基本关系式时,要注意其前提“同角”的条件.
(3)同角三角函数关系式的应用
同角三角函数关系式十分重要,应用广泛,其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数,求出这个角的其他三角函数值.
【例1】已知 ,且 是第二象限角,求 , , 的值.
解:∵ ,且 ,∴ 是第二或第三象限角.
如果 是第二象限角,那么
如果 是第三象限角,那么 ,
说明:本题没有具体指出 是第几象限的角,则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角,再分象限加以讨论.
【例2】已知 ,求 的值.
解: ,且 , 是第二或第三象限角.
如果 是第二象限角,那么
如果 是第三象限角,那么 .
说明:本题没有具体指出 是第几象限角,则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角,再分象限加以讨论.
【例3】已知 为非零实数,用 表示 , .
解:因为 ,所以
又因为 ,所以
于是 ∴
由 为非零实数,可知角 的终边不在坐标轴上,考虑 的符号分第一、第四象限及第二、三象限,从而:
在三角求值过程中应尽量避免开方运算,在不可避免时,先计算与已知函数有平方关系的三角函数,这样可只进行一次开方运算,并可只进行一次符号说明.
同角三角函数关系式还经常用于化简三角函数式,请看例4
【例4】化简下列各式:
(1) ;(2) .
解:(1) (2)
3.演练反馈(投影)
(1)已知: ,求 的其他各三角函数值.
(2)已知 ,求 , .
(3)化简:
解答:(1)解:∵ ,所以 是第二、第三象限的角.
如果 是第二象限的角,则:
又
如果 是第三象限的角,那么
(2)解:∵ ∴ 是第二或第四象限的角
由【例3】的求法可知当 是第二象限时
当 是第四象限时
(3)解:原式
4.本课小结
(1)同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”,因此 , …….
(2)诸如 , ,……它们都是条件等式,即它们成立的前提是表达式有意义.
(3)利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角所在象限确定符号,即要就角所在象限进行分类讨论.
课时作业 :
1.已知 , ,则 等于( )
A. B. C. D.
2.若 ,则 的值是( )
A.-2 B.2 C.±2 D.
3.化简
4.化简 ,其中 为第二象限角.
5.已知 ,求 的值.
6.已知 是三角形的内角, ,求 值.
参考答案:1.D; 2.B; 3.1; 4. ; 5.3; 6.
注:4.略解:原式
∵ 在第二象限
∴
∴ .
6.略解:
由 ,平方得, ,
∴
∵ 是三角形内角
∴只有
∴ ,
由
及 ,联立,得: , ,
∴