指对数的运算
一、反思数学符号: “ ”“ ”出现的背景
1.数学总是在不断的发明创造中去解决所遇到的问题。
2.方程 的根是多少?;
①.这样的数 存在却无法写出来?怎么办呢?你怎样向别人介绍一个人? 描述出来。
②..那么这个写不出来的数是一个什么样的数呢? 怎样描述呢?
①我们发明了新的公认符号 “ ”作为这样数的“标志” 的形式.即 是一个平方等于三的数.
②推广: 则 .
③后又常用另一种形式分数指数幂形式
3.方程 的根又是多少?① 也存在却无法写出来??同样也发明了新的公认符号 “ ”专门作为这样数的标志, 的形式.
即 是一个2为底结果等于3的数.
② 推广: 则 .
二、指对数运算法则及性质:
1.幂的有关概念:
(1)正整数指数幂: = ( ). (2)零指数幂: ).
(3)负整数指数幂: (4)正分数指数幂:
(5)负分数指数幂: ( 6 )0的正分数指数幂等于0,负分指数幂没意义.
2.根式:
(1)如果一个数的n次方等于a, 那么这个数叫做a的n次方根.如果 ,那么x叫做a的次方根,则x= (2)0的任何次方根都是0,记作 . (3) 式子 叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数.
(4) . (5)当n为奇数时, = . (6)当n为偶数时, = = .
3.指数幂的运算法则:
(1) = . (2) = . 3) = .4) = .
二.对数
1.对数的定义:如果 ,那么数b叫做以a为底n的对数,记作 ,其中a叫做 , 叫做真数.
2.特殊对数:
(1) = ; (2) = . (其中
3.对数的换底公式及对数恒等式
(1) = (对数恒等式). (2) ; (3) ; (4) .
(5) = (6) = .(7) = .(8) = ; (9) = 共3页,当前第1页123
(10)
三、经典体验:
1.化简根式: ; ; ;
2.解方程: ; ; ; ;
3.化简求值:
;
4.【徐州六县一区09-10高一期中】16. 求函数 的定义域。
四、经典例题
例:1画出函数草图: .
练习:1. “等式log3x2=2成立”是“等式log3x=1成立”的 ▲ .必要不充分条件
例:2. 若 则 ▲ .
练习:1. 已知函数 求 的值 ▲ ..
例3:函数f(x)=lg( )是 (奇、偶)函数。
点拨:
为奇函数。
练习:已知 则 .
练习:已知 则 的值等于 .
练习:已知定义域为r的函数 在 是增函数,满足 且 ,求不等式 的解集。
例:4解方程 .
解:设 ,则 ,代入原方程,解得 ,或 (舍去).由 ,得 .经检验知, 为原方程的解.
练习:解方程 .
练习:解方程 .
练习:解方程: .
练习:设 ,求实数 、 的值。
解:原方程等价于 ,显然 ,我们考虑函数 ,显然 ,即 是原方程的根.又 和 都是减函数,故 也是减函数.
当 时, ;当 时, ,因此,原方程只有一个解 .分析:注意到 , ,故倒数换元可求解.
解:原方程两边同除以 ,得 .设 ,原方程化为 ,化简整理,得 . , ,即 . .
解析:令 ,则 ,∴原方程变形为 ,解得 , 。由 得 ,∴ ,
即 ,∴ ,∴ 。由 得 ,∴ ,∵ ,∴此方程无实根。故原方程的解为 。评注:将指数方程转化为基本型求解,是解决该类问题的关键。
解析:由题意可得, , ,原方程可化为 ,即 。
∴ ,∴ 。
∴由非负数的性质得 ,且 ,∴ , 。
评注:通过拆项配方,使问题巧妙获解。
例5:已知关于 的方程 有实数解,求 的取值范围。
已知关于 的方程 的实数解在区间 ,求 的取值范围。
反思提炼:1.常见的四种指数方程的一般解法
(1) 方程 的解法:
(2) 方程 的解法: 共3页,当前第2页123
(3) 方程 的解法:
(4) 方程 的解法:
2.常见的三种对数方程的一般解法
(1)方程 的解法:
(2)方程 的解法:
(3)方程 的解法:
3.方程与函数之间的转化。
4.通过数形结合解决方程有无根的问题。
课后作业:
1.对正整数n,设曲线 在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为 ,则数列 的前n项和的公式是
[答案] 2n+1-2
[解析] ∵y=xn(1-x),∴y′=(xn)′(1-x)+(1-x)′•xn=n•xn-1(1-x)-xn.
f ′(2)=-n•2n-1-2n=(-n-2)•2n-1.
在点x=2处点的纵坐标为y=-2n.
∴切线方程为y+2n=(-n-2)•2n-1(x-2).
令x=0得,y=(n+1)•2n,
∴an=(n+1)•2n,
∴数列ann+1的前n项和为2(2n-1)2-1=2n+1-2.
2.在平面直角坐标系 中,已知点p是函数 的图象上的动点,该图象在p处的切线 交y轴于点m,过点p作 的垂线交y轴于点n,设线段mn的中点的纵坐标为t,则t的最大值是_____________
解析:设 则 ,过点p作 的垂线
,所以,t在 上单调增,在 单调减, 。