第二十一章 “二次根式”简介

课程教材研究所　左怀玲

本章内容“二次根式”是《数学课程标准》中“数与代数”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，关于数的内容，第三学段主要学习有理数和实数。对于有理数和实数，本套教课书主要分三章编写，分别是7年级上册第1章“有理数”，7年级下册第10章“实数”和本章“二次根式”。本章是在第10章的基础上继续研究有关实数的内容。

在第10章“实数”中，学生学习了一些有关实数的概念和运算，所学概念主要有平方根、算术平方根、立方根以及无理数和实数的概念；关于运算，主要是利用平方运算和立方运算求某些数的平方根和立方根，并对有理数的运算性质和运算法则在实数的运算中仍然成立这一点有所体验。

本章是在第10章的基础上，进一步研究二次根式的概念和运算。在本章中，学生将学习二次根式的概念、性质、运算法则和化简的方法，通过对二次根式的概念和性质的学习，学生将对实数的概念有更深刻的认识，通过对二次根式的加、减、乘、除运算的学习，学生将对实数的简单四则运算有进一步的了解。学习本章的关键是理解二次根式的概念和性质，它们是学习二次根式的化简与运算的依据，重点是二次根式的化简和运算，难点是正确理解二次根式的性质和运算法则的合理性。

本章内容与已学 “实数”“整式”“勾股定理”等内容联系紧密，同时也是以后将要学习的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备。

本章教学时间约需9课时，具体分配如下（仅供参考）：

21.1 二次根式 　　　　　　　　　约2课时

21.2 二次根式的乘除 　　　　　　约2课时

21.3 二次根式的加减 　　　　　　约3课时

数学活动

小结 　　　　　　　　　　　　　　约2课时

一、教科书内容与课程学习目标

（一）本章知识结构框图

（二）教科书内容

本章内容分为三节，第一节主要学习二次根式的概念和性质，本节既是第10章相关内容的发展，同时又是后面两节内容的基础，因此本节起承上启下的作用；第二节是二次根式的乘除运算，主要研究二次根式的乘除运算法则和二次根式的化简；第三节是二次根式的加减，主要研究二次根式的加减运算法则和进一步完善二次根式的化简。

在第21.1节 “二次根式”中，教科书首先给出四个实际问题，这些实际问题的背景是学生比较熟悉的，其中包含的数学关系也是比较简单的，前三个是几何问题，分别是已知直角三角形的两条直角边求斜边的长、已知正方形的面积求边长和已知圆的面积求半径，最后一个实际问题是物理方面的，涉及到的数学关系是，要求用h表示t。解决这四个问题需要利用已学的平方根和算术平方根的知识，这四个问题的答案，在结果的表达式上有共同的特点，即都是用算术平方根的形式表示出来的，这样教科书就从实际问题出发，通过分析所得答案的表达式的共同特点引出二次根式的概念。在二次根式的概念中，重要的一点是理解被开方数是非负数的要求，教科书结合例题对此进行了较详细的分析。接下去，教科书依次探讨了关于二次根式的结论：是一个非负数、。对于“是非负数”，教科书是利用算术平方根的概念得到的；对于，教科书则采用由特殊到一般的方法归纳得出的。在研究这个结论时，教科书首先设置“探究”栏目，要求学生利用算术平方根的概念进行几个具体的计算，并对运算过程和运算结果进行进一步的分析，最后归纳给出这条结论；对于结论，教科书同样采用了让学生通过具体计算，分析运算过程和运算结果，最后归纳得出一般结论的方法进行研究。第一节的内容是学习后两节内容的直接基础。共4页，当前第1页1234

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对于二次根式的运算，教科书首先研究了乘除运算，这是21.2节“二次根式的乘除”的内容。本节中，除了学习二次根式的乘除运算法则外，还研究了二次根式的化简。对于二次根式的乘除运算，教科书首先研究了二次根式的乘法运算，二次根式的乘法法则是利用由特殊到一般的方法归纳给出的。教科书先设置一个“探究”栏目，在“探究”栏目中包含两个不同层次的探究问题。第一步是让学生通过计算发现规律，第二步是让学生对发现的规律进行验证，因此第一步中的被开方数都是完全平方数，这样有助于学生发现规律，第二步中的被开方数不是完全平方数，要求用计算器进行验算，以确认规律是否正确。这样，学生通过“探究”栏目的活动，就可以发现与之间的关系，从而得到二次根式乘法的运算法则，运用运算法则就可以进行二次根式的乘法运算。如果将二次根式的乘法法则反过来看，就可以得到积的算术平方根的性质，利用这条性质可以化简二次根式，这样教科书就给出了一种化简二次根式的方法。对于二次根式的除法运算，类似于乘法运算，教科书也采用了由特殊到一般的方法，通过归纳得出二次根式除法的运算法则，继而得到商的算术平方根的性质，利用这条性质也可以化简二次根式，这样教科书又给出一种化简二次根式的方法。本节最后，教科书结合本章例题，给出了最简二次根式的概念，明确了化简二次根式的方向，这为下一节学习二次根式的加减运算作好铺垫。

第21.3节是“二次根式的加减”，本小节的主要内容是二次根式的加减运算和二次根式的加、减、乘、除混合运算，本小节的基础是学生已经掌握了把一个二次根式化简成最简二次根式的方法。学习二次根式的运算是研究数学的需要，也是实际的需要。本节开始，教科书结合一个实际问题引出二次根式的加法运算，使学生感到研究二次根式的加减运算是实际的需要。这个实际问题是要在一块长方形木板上截出两块面积不同的正方形木板，当然解决这个实际问题的方法可能不同，教科书采用的是先求出两个正方形的边长的和，再将这个和与长方形的长进行比较的方法，利用这种方法会遇到求二次根式的和的问题，这样教科书就从实际问题出发引出了二次根式的加法运算的问题。之后，教科书结合这个例子，研究了二次根式加减运算的法则，明确了二次根式的加减首先是化简，在化简之后就是类似于整式的加减运算了。整式加减无非是去括号与合并同类项，二次根式在化简之后也是如此，合并被开方数相同的二次根式（合并同类二次根式）实际上相当于合并同类项，合并的依据是分配律，关于这一点，在第10章“实数”中已经有所涉及，教科书也在边空给出说明。在分别学习了二次根式的加、减、乘、除运算的基础上，就可以研究它们的混合运算了。教科书以例题的方式介绍了二次根式的加、减、乘、除混合运算的例子，突出了二次根式与整式之间的关系，体现了整式的运算性质、公式和法则与二次根式相关内容的一致性。

（三）课程学习目标

对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求：共4页，当前第2页1234

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1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由；

2. 了解最简二次根式的概念；

3. 理解并掌握下列结论：

（1）是非负数；　（2）；　（3）；

4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；

5. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。

二、本章编写特点

（一）注意加强知识间的纵向联系

本章内容属于“数与代数”这个领域，对于实数的内容，本套教科书主要分为两章学习，分别是七年级下册的第10章“实数”和本章“二次根式”。在“实数”一章中，主要研究了平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算，学生对数的认识已经由有理数的范围扩大到实数范围，并对实数的运算性质和运算法则有了初步的感受，这些就为本章的学习打下基础。因此，本章编写时充分注意与已有经验的联系，在“实数”一章的基础上进行编写。例如，对于二次根式的加减运算，在“实数”一章中，学生在体验“有理数的运算律和运算法则在实数的范围内仍然成立”的过程中有所接触，本章就在此基础上利用分配律给出了加减法的运算法则，使学生进一步体会运算律在数的扩充过程中的一致性。

本章内容与第15章“整式”有着密切的联系。由于数式通性，当将二次根式中的实数看成字母时，二次根式的运算实际上就是整式的运算，因此整式的运算法则和公式在二次根式的运算中继续使用，因此本章编写时，强调了与整式相关内容的联系。例如，教科书在介绍二次根式的混合运算时，强调了利用多项式的乘法法则和乘法公式进行运算，突出了二次根式运算的本质，这样的编写方式加强了知识之间的相互联系，有助于使学生的学习形成正迁移。

（二）加强与实际的联系

研究二次根式的概念和运算既是数学内在的需要，也是实际的需要，因此本章编写时，注意加强与实际的联系。例如，二次根式概念的引入是结合四个实际问题展开的，二次根式加法运算是结合实际中裁截板材引出的，另外本章也有较多的应用本章内容解决实际问题的例题和习题，如计算钢材问题、确定纸张规格问题、电视塔的传播半径问题等。加强二次根式与实际的联系，将一些重要的概念和运算紧密结合实际生活展开，使学生在解决实际问题的过程中认识二次根式的有关概念和运算，这样的一种编写方式有助于学生理解二次根式的本质，调动学生学习数学的积极性.

（三）加大学生探索空间，体现由特殊到一般的认识过程

由于本章内容与以前所学的实数内容有较多联系，在思考问题的方法上与整式的内容又有很多相通之处，因此对于一些重要结论，编写时注意了让学生通过观察、思考、讨论等探究活动归纳得出结论的过程。例如，对于二次根式的乘法法则，教科书首先让学生利用二次根式的概念和性质进行几个具体的计算，其中有两个二次根式相乘的问题，也有积的算术平方根的问题，学生通过具体计算，并观察所得结果发现二次根式相乘与积的算术平方根之间的关系，并利用发现的规律进行计算，然后利用计算器进行验证，最后归纳得出二次根式的乘法运算法则，这个过程实际上让学生通过探究活动经历了一个由特殊到一般的认识过程；同样，二次根式的除法运算法则也是采用通过学生的探索活动，由特殊到一般地归纳得出结论的方法。这样，根据本章内容的特点，本章编写时尽可能多地给学生留出探索交流的空间，通过这样的探究活动发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式，掌握认识事物的一般规律.共4页，当前第3页1234

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三、几个值得关注的问题

（一）适当加强练习，为后续学习打好基础

本章内容属于“数与代数”领域中较基础的内容，尤其是二次根式的加、减、乘、除运算是后续学习解直角三角形、一元二次方程和二次函数的重要基础，例如在“锐角三角函数”一章中，会遇到很多实际问题，在解决实际问题的过程中，要遇到将二次根式化成最简二次根式以及二次根式的加减运算，在“一元二次方程”中，利用公式法解方程时，会用到二次根式的性质，在“二次函数”一章中，判断二次函数的图象与x轴是否有交点时，会遇到根的判别式中被开方数小于0的情形，这里需要深刻理解二次根式的意义。因此二次根式的有关概念和运算是学好这些后续内容的重要基础，而熟练掌握二次根式的概念和运算需要一定的训练。这样，教学中可以适当增加练习，使学生较好地理解二次根式的意义，较好地掌握二次根式的性质和运算，为后续的学习打下良好的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备。

另外，本章内容与“整式”“勾股定理”等联系紧密，在加强练习的过程中，要注意强调知识之间的相互联系，进一步加深对整式和勾股定理等内容的理解，使学生养成以联系和发展的观点学习数学的习惯.

（二）引导学生理解数学的本质

本章的重点是让学生理解二次根式的概念和，并会熟练运用法则进行运算。本章编写时，注重说明性质和法则成立的合理性，突出了它们的数学本质。例如，教科书在介绍二次根式的性质时，首先让学生通过探究活动，对这条性质有所感受，然后再从算术平方根的意义出发，结合具体例子对这条性质进行分析，最后由特殊到一般地得到这条性质，这样就可以使学生对这条性质的数学实质有了较深刻的认识。另外，对于概念，本章编写时遵循淡化概念名词，突出概念实质的原则。例如，本章在介绍二次根式的乘除运算时，没有给出分母有理化的概念，而是结合具体例子说明了分母有理化的要求，再如，对于二次根式的加减运算，教科书回避了同类二次根式的概念，突出强调了运算时先将二次根式化成最简二次根式再进行合并的方法。这样处理内容的目的是使学生将学习的重点放在理解数学的本质上来。因此，教学中注意体会教科书的编写意图，培养学生的数学能力。

 

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