1.一元二次方程求根公式的推导过程；
2.公式法的概念；
3.利用公式法解一元二次方程. 教学目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程.
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程. 重难点关键
1.重点：求根公式的推导和公式法的应用.
2.难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导. 教学过程
一、复习引入
（学生活动）用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
（老师点评） （1）移项，得：6x2-7x=-1
二次项系数化为1，得：x2- x=-
配方，得：x2- x+（ ）2=- +（ ）2
（x- ）2=
x- =± x1= + = =1
x2=- + = =
（2）略 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）.
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解. 二、探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题.
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1= ，x2=
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去.共5页，当前第1页12345
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解：移项，得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+ x=-
配方，得：x2+ x+（ ）2=- +（ ）2
即（x+ ）2=
∵b2-4ac≥0且4a2>0
∴ ≥0
直接开平方，得：x+ =±
即x=
∴x1= ，x2=
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根.
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根. 例1.用公式法解下列方程.
（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2
（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可.
解：（1）a=2，b=-4，c=-1
b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0
x=
∴x1= ，x2=
（2）将方程化为一般形式
3x2-5x-2=0
a=3，b=-5，c=-2
b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0
x=
x1=2，x2=-
（3）将方程化为一般形式
3x2-11x+9=0
a=3，b=-11，c=9
b2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0
∴x=
∴x1= ，x2= 共5页，当前第2页12345
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（3）a=4，b=-3，c=1
b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0
因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根. 三、应用拓展 例2.某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） +（m-2）x-1=0提出了下列问题.
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程.
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出.
你能解决这个问题吗？
分析：能.（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0.
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:① 或② 或③
解：（1）存在.根据题意，得：m2+1=2
m2=1 m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）
∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x=
x1=，x2=-
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=- . （2）存在.根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0
因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意.
②当m2+1=0，m不存在.
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意.
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=- . 四、归纳小结
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程；
（4）初步了解一元二次方程根的情况.共5页，当前第3页12345
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1.用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）.
a.x= b.x= c.x= d.x= 2.方程 x2+4 x+6 =0的根是（ ）.
a.x1= ，x2= b.x1=6，x2= c.x1=2 ，x2= d.x1=x2=- 3.（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）.
a.4 b.-2 c.4或-2 d.-4或2 二、填空题
1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________.
2.当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4.
3.若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____. 三、综合提高题
1.用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0.
2.设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=- ，x1·x2= ；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值.
3.某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过a千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过a千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时 元收费.
（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定a千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用a表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况月份用电量（千瓦时）交电费总金额（元） 3 80 25 4 45 10 根据上表数据，求电厂规定的a值为多少？ 答案:
一、1.d 2.d 3.c
二、1.x= ，b2-4ac≥0 2.4 3.-3共5页，当前第4页12345
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三、
1.x= =a±│b│ 2.
（1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，∴x1= ，x2=
∴x1+x2= =- ，x1·x2= · =
（2）∵x1，x2是ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0
原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2
=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）
=0
3.（1）超过部分电费=（90-a）· =- a2+ a （2）依题意，得：（80-a）· =15，a1=30（舍去），a2=50共5页，当前第5页12345
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