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22.2.2 配方法

教学内容
    间接即通过变形运用开平方法降次解方程.

    教学目标
    理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.
    通过复习可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法,引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤.

    重难点关键
    1.重点:讲清“直接降次有困难,如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.
    2.难点与关键:不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.

    教学过程
    一、复习引入

    (学生活动)请同学们解下列方程
    (1)3x2-1=5   (2)4(x-1)2-9=0   (3)4x2+16x+16=9
    老师点评:上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=± 或mx+n=± (p≥0).
    如:4x2+16x+16=(2x+4)2

    二、探索新知
    列出下面二个问题的方程并回答:
    (1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?
    (2)能否直接用上面三个方程的解法呢?

    问题1:印度古算中有这样一资骸耙蝗汉镒臃至蕉樱吒咝诵嗽谟蜗罚?八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮,告我总数共多少,两队猴子在一起”.
    大意是说:一群猴子分成两队,一队猴子数是猴子总数的 的平方,另一队猴子数是12,那么猴子总数是多少?你能解决这个问题吗?

    问题2:如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为5000m2,道路的宽为多少?

    老师点评:问题1:设总共有x只猴子,根据题意,得:x=( x)2+12
    整理得:x2-64x+768=0
    问题2:设道路的宽为x,则可列方程:(20-x)(32-2x)=500
    整理,得:x2-36x+70=0
    (1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是:前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有.
    (2)不能.
    既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程,下面,我们就来讲如何转化:
    x2-64x+768=0  移项→ x=2-64x=-768
    两边加( )2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+10247页,当前第11234567
    左边写成平方形式 → (x-32)2=256 降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16 
    解一次方程→x1=48,x2=16
    可以验证:x1=48,x2=16都是方程的根,所以共有16只或48只猴子.

    学生活动:

    例1.按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题.
    老师点评:x2-36x=-70,x2-36x+182=-70+324,(x-18)2=254,x-18=± ,x-18= 或x-18=- ,x1≈34,x2≈2.
    可以验证x1≈34,x2≈2都是原方程的根,但x≈34不合题意,所以道路的宽应为2.

    例2.解下列关于x的方程
    (1)x2+2x-35=0    (2)2x2-4x-1=0
    分析:(1)显然方程的左边不是一个完全平方式,因此,要按前面的方法化为完全平方式;(2)同上.
    解:(1)x2-2x=35  x2-2x+12=35+1  (x-1)2=36  x-1=±6
             x-1=6,x-1=-6
             x1=7,x2=-5
    可以,验证x1=7,x2=-5都是x2+2x-35=0的两根.

    (2)x2-2x- =0  x2-2x=
        x2-2x+12= +1   (x-1)2=
        x-1=± 即x-1= ,x-1=-
        x1=1+ ,x2=1-
    可以验证:x1=1+ ,x2=1- 都是方程的根.

    三、应用拓展

    例3.如图,在rt△acb中,∠c=90°,ac=8m,cb=6m,点p、q同时由a,b两点出发分别沿ac、bc方向向点c匀速移动,它们的速度都是1m/s,几秒后△pcq的面积为rt△acb面积的一半.

    分析:设x秒后△pcq的面积为rt△abc面积的一半,△pcq也是直角三角形.根据已知列出等式.
    解:设x秒后△pcq的面积为rt△acb面积的一半.
    根据题意,得: (8-x)(6-x)= × ×8×67页,当前第21234567
    整理,得:x2-14x+24=0
   (x-7)2=25即x1=12,x2=2
    x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去.
    所以2秒后△pcq的面积为rt△acb面积的一半.

    四、归纳小结
    本节课应掌握:
    左边不含有x的完全平方形式,左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程的方程.

    五、作业设计

    一、选择题
    1.将二次三项式x2-4x+1配方后得(  ).
      a.(x-2)2+3     b.(x-2)2-3    c.(x+2)2+3     d.(x+2)2-3
    2.已知x2-8x+15=0,左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的是(  ).
      a.x2-8x+(-4)2=31     b.x2-8x+(-4)2=1
      c.x2+8x+42=1           d.x2-4x+4=-11
    3.如果mx2+2(3-2m)x+3m-2=0(m≠0)的左边是一个关于x的完全平方式,则m等于(  ).
      a.1       b.-1       c.1或9      d.-1或9

    二、填空题
    1.方程x2+4x-5=0的解是________.
    2.代数式 的值为0,则x的值为________.
    3.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值,若设x+y=z,则原方程可变为_______,所以求出z的值即为x+y的值,所以x+y的值为______.

    三、综合提高题
    1.已知三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2-4x+3=0的解,求这个三角形的周长.
    2.如果x2-4x+y2+6y+ +13=0,求(xy)z的值.
    3.新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元,市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降50元时,平均每天就能多售出4台,商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元,每台冰箱的定价应为多少元?

    答案:
    一、1.b  2.b  3.c
    二、1.x1=1,x2=-5  2.2  3.z2+2z-8=0,2,-4
    三、1.(x-3)(x-1)=0,x1=3,x2=1,∴三角形周长为9(∵x2=1,∴不能构成三角形)
    2.(x-2)2+(y+3)2+ =0,∴x=2,y=-3,z=-2,(xy)z=(-6)-2=
    3.设每台定价为x,则:(x-2500)(8+ ×4)=5000,x2-5500x+7506250=0,解得x=27507页,当前第31234567

22.2.2 配方法

    教学内容
    给出配方法的概念,然后运用配方法解一元二次方程.

    教学目标
    了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.
    通过复习上一节课的解题方法,给出配方法的概念,然后运用配方法解决一些具体题目.

    重难点关键
    1.重点:讲清配方法的解题步骤.
    2.难点与关键:把常数项移到方程右边后,两边加上的常数是一次项系数一半的平方.

    教学过程
    一、复习引入

    (学生活动)解下列方程:
    (1)x2-8x+7=0   (2)x2+4x+1=0
    老师点评:我们前一节课,已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式,右边是非负数,不可以直接开方降次解方程的转化问题,那么这两道题也可以用上面的方法进行解题.
    解:
    (1)x2-8x+(-4)2+7-(-4)2=0   (x-4)2=9        x-4=±3即x1=7,x2=1
    (2)x2+4x=-1  x2+4x+22=-1+22    (x+2)2=3即x+2=±       x1= -2,x2=- -2

    二、探索新知
    像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.
    可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.

    例1.解下列方程
    (1)x2+6x+5=0   (2)2x2+6x-2=0   (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0
    分析:我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方.
    解:(1)移项,得:x2+6x=-5
        配方:x2+6x+32=-5+32(x+3)2=4
        由此可得:x+3=±2,即x1=-1,x2=-5
    (2)移项,得:2x2+6x=-2
        二次项系数化为1,得:x2+3x=-1
        配方x2+3x+( )2=-1+( )2(x+ )2=
        由此可得x+ =± ,即x1= - ,x2=- - 7页,当前第41234567
    (3)去括号,整理得:x2+4x-1=0
        移项,得x2+4x=1
        配方,得(x+2)2=5
        x+2=± ,即x1= -2,x2=- -2

    三、应用拓展

    例2.用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6
    分析:因为如果展开(6x+7)2,那么方程就变得很复杂,如果把(6x+7)看为一个数y,那么(6x+7)2=y2,其它的3x+4= (6x+7)+ ,x+1= (6x+7)- ,因此,方程就转化为y的方程,像这样的转化,我们把它称为换元法.
    解:设6x+7=y
        则3x+4= y+ ,x+1= y-
    依题意,得:y2( y+ )( y- )=6
    去分母,得:y2(y+1)(y-1)=72
    y2(y2-1)=72, y4-y2=72
    (y2- )2=
    y2- =±
    y2=9或y2=-8(舍)
    ∴y=±3
    当y=3时,6x+7=3  6x=-4  x=-
    当y=-3时,6x+7=-3  6x=-10  x=-
    所以,原方程的根为x1=- ,x2=-

    四、归纳小结
    本节课应掌握:
    配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.

    五、作业
    一、选择题

    1.配方法解方程2x2- x-2=0应把它先变形为(  ).
      a.(x- )2=     b.(x- )2=07页,当前第51234567
      c.(x- )2=     d.(x- )2=
    2.下列方程中,一定有实数解的是(  ).
      a.x2+1=0           b.(2x+1)2=0
      c.(2x+1)2+3=0     d.( x-a)2=a
    3.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z的值是(  ).
      a.1     b.2     c.-1      d.-2

    二、填空题
    1.如果x2+4x-5=0,则x=_______.
    2.无论x、y取任何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数.
    3.如果16(x-y)2+40(x-y)+25=0,那么x与y的关系是________.

    三、综合提高题
    1.用配方法解方程.
    (1)9y2-18y-4=0                        (2)x2+3=2 x
    2.已知:x2+4x+y2-6y+13=0,求 的值.
    3.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价一元,商场平均每天可多售出2件.
    ①若商场平均每天赢利1200元,每件衬衫应降价多少元?
    ②每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多?请你设计销售方案.

    答案:
    一、1.d  2.b  3.b
    二、1.1,-5  2.正  3.x-y=
    三、1.(1)y2-2y- =0,y2-2y= ,(y-1)2= ,y-1=± ,y1= +1,y2=1-
           (2)x2-2 x=-3  (x- )2=0,x1=x2=
    2.(x+2)2+(y-3)2=0,x1=-2,y2=3,∴原式= 7页,当前第61234567
    3.(1)设每件衬衫应降价x元,则(40-x)(20+2x)=1200,x2-30x+200=0,x1=10,x2=20
       (2)设每件衬衫降价x元时,商场平均每天赢利最多为y,则y=-2x2+60x+800=-2(x2-30x)+800=-2[(x-15)2-225]+800=-2(x-15)2+1250    ∵-2(x-15)2≤0,∴x=15时,赢利最多,y=1250元.答:略

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