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二次根式的化简

教学建议

知识结构

.

重难点分析

本节的重点是 的化简.本章自始至终围绕着与计算进行,而 的化简不但涉及到前面学习过的算术平方根、二次根式等概念与二次根式的运算性质,还要牵涉到绝对值以及各种非负数、因式分解等知识,在应用中常常需要对字母进行分类讨论.

本节的难点是正确理解与应用公式

.

这个公式的表达形式对学生来说,比较生疏,而实际运用时,则要牵涉到对字母取值范围的讨论,学生往往容易出现错误.

教法建议

1.性质的引入方法很多,以下2种比较常用:

(1)设计问题引导启发:由设计的问题

1) 、 、 各等于什么?

2) 、 、 各等于什么?

启发、引导学生猜想出

(2)从算术平方根的意义引入.

2.性质的巩固有两个方面需要注意:

(1)注意与性质 进行对比,可出几道类型不同的题进行比较;

(2)学生初次接触这种形式的表示方式,在教学时要注意细分层次加以巩固,如单个数字,单个字母,单项式,可进行因式分解的多项式,等等.

 

(第1课时)

一、教学目标

1.掌握二次根式的性质

2.能够利用二次根式的性质化简二次根式

3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法

二、教学设计

对比、归纳、总结

三、重点和难点

1.重点:理解并掌握二次根式的性质

2.难点:理解式子 中的 可以取任意实数,并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式.

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、多媒体

六、师生互动活动设计

复习对比,归纳整理,应用提高,以学生活动为主

七、教学过程

一、导入  新课

我们知道,式子 ( )表示非负数 的算术平方根.

问:式子 的意义是什么?被开方数中的 表示的是什么数?

答:式子 表示非负数 的算术平方根,即 ,且 ,从而 可以取任意实数.

二、新课

计算下列各题,并回答以下问题:

(1) ; (2) ; (3) ;

(4) ; (5) ; (6)

(7) ; (8)

1.各小题中被开方数的幂的底数都是什么数?

2.各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系?

3.用字母 表示被开方数的幂的底数,将有怎样的结论?并用语言叙述你的结论.

答:

(1) ; (2) ; (3) ;

(4) ; (5) ; (6)

(7) ; (8) .

1.(1),(2),(3)各题中的被开方数的幂的底数都是正数;(4),(5),(6),(7)各题中的被开方数的幂的底数都是负数;(8)题被开方数的幂的底数是0.

2.(1),(2),(3),(8)各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数都分别相等;(4),(5),(6),(7)各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数分别互为相反数.

3.用字母 表示(1),(2),(3),(8)各题中被开方数的幂的底数,有

( ),

用字母 表示(4),(5),(6),(7)各题中被开方数的幂的底数,有

( ).

一个非负数的平方的算术平方根,等于这个非负数本身;一个负数的平方的算术平方根,等于这个负数的相反数.

问:请把上述讨论结论,用一个式子表示.(注意表示条件和结论)

答:

请同学回忆实数的绝对值的代数意义,它和上述二次根式的性质有什么联系?

答:

填空:

1.当 _________时, ;

2.当 时, ,当 时, ;

3.若 ,则 ________;

4.当 时, .

答:

1.当 时, ;

2.当 时, ,

当 时, ;

3.若 ,则 ;

4.当 时, .

例1  化简   ( ).

分析:可以利用积的算术平方根的性质及二次根式的性质化简.

解  ,因为 ,所以 ,所以

.


指出:在化简和运算过程中,把 先写成 ,再根据已知条件中 的取值范围,确定其结果.

例2  化简   ( ).

分析:根据二次根式的性质,当 时, .

解   .

例3  化简:(1) ( ); (2) ( ).

分析:根据二次根式的性质,当 时, .

解  (1) .

(2) .

注意:(1)题中的被开方数 ,因为 ,所以 .

(2)题中的被开方数 ,因为 ,所以 .

这里 的取值范围,在已知条件中没有直接给出,但可以由已知条件分析而得出.

例4  化简 .

分析:根据二次根式的性质,有

.

所以要比较 与3及1与 的大小以确定 及 的符号,然后再进行化简.

解  因为 , ,所以

, .

所以

.

三、课堂练习

1.求下列各式的值:

(1) ; (2) .

2.化简:

(1) ; (2) ;

(3) ( ); (4) ( ).

3.化简:

(1) ; (2) ;

(3) ; (4) ;

(5) ; (6) ( ).

答案:

1.(1)0.1; (2) .

2.(1) ; (2) ; (3) ; (4) .

3.(1)4; (2)1.5; (3)0.09; (4)-1; (5)4; (6)-1.

四、小结

1.二次根式 的意义是 ,所以 ,因此 ,其中 可以取任意实数.

2.化简形如 的二次根式,首先可把 写成 的形式,再根据已知条件中字母 的取值范围,确定其结果.

3.在化简中,注意运用题设中的隐含条件,如二次根式 有意义的条件是被开方 ,这是隐含条件.

五、作业 

1.化简:

(1) ; (2) ;

(3) ( ); (4) ( );

(5) ; (6) ( , );

(7)   ( ).

2.化简:

(1) ;

(2) ( );

(3) ( , ).

答案:

1.(1)-30; (2) ; (3) ;

(4) ; (5) ; (6) ; (7) .

2.(1)2; (2)0; (3) .

 


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