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§14.3.2.1 等边三角形(三)

§14.3.2.1  等边三角形(三)
教学过程
一、 复习等腰三角形的判定与性质
二、 新授:
1.等边三角形的性质:三边相等;三角都是60°;三边上的中线、高、角平分线相等
2.等边三角形的判定:
三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半
 注意:推论1是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论2说明在等腰三角形中,只要有一个角是600,不论这个角是顶角还是底角,就可以判定这个三角形是等边三角形。推论3反映的是直角三角形中边与角之间的关系.
3.由学生解答课本148页的例子;
4.补充:已知如图所示, 在△abc中,  bd是ac边上的中线, db⊥bc于b,
∠abc=120o, 求证: ab=2bc
分析   由已知条件可得∠abd=30o, 如能构造有一个锐角是30o的直角三角形, 斜边是ab,30o角所对的边是与bc相等的线段,问题就得到解决了.
b

        
证明: 过a作ae∥bc交bd的延长线于e
∵db⊥bc(已知)
∴∠aed=90o (两直线平行内错角相等)
在△ade和△cdb中
 
∴△ade≌△cdb(aas)
∴ae=cb(全等三角形的对应边相等)
∵∠abc=120o,db⊥bc(已知)
∴∠abd=30o
在rt△abe中,∠abd=30o
∴ae= ab(在直角三角形中,如果一个锐角等于30o,
那么它所对的直角边等于斜边的一半)
∴bc= ab   即ab=2bc
点评   本题还可过c作ce∥ab
5、训练:如图所示,在等边△abc的边的延长线上取一点e,以ce为边作等边△cde,使它与△abc位于直线ae的同一侧,点m为线段ad的中点,点n为线段be的中点,求证:△cnm是等边三角形.
分析   由已知易证明△adc≌△bec,得be=ad,∠ebc=∠dae,而m、n分别为be、ad的中点,于是有bn=am,要证明△cnm是等边三角形,只须证mc=cn,∠mcn=60o,所以要证△nbc≌△mac,由上述已推出的结论,根据边角边公里,可证得△nbc≌△mac
证明:∵等边△abc和等边△dce,
∴bc=ac,cd=ce,(等边三角形的边相等)
∠bca=∠dce=60o(等边三角形的每个角都是60)
∴∠bce=∠dca
∴△bce≌△acd(sas)
∴∠ebc=∠dac(全等三角形的对应角相等)
be=ad(全等三角形的对应边相等)
又∵bn= be,am= ad(中点定义)
∴bn=am
∴△nbc≌△mac(sas)
∴cm=cn(全等三角形的对应边相等)
∠acm=∠bcn(全等三角形的对应角相等)
∴∠mcn=∠acb=60o
∴△mcn为等边三角形(有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形)
解题小结
1.本题通过将分析法和综合法并用进行分析,得到了本题的证题思路,较复杂的几何问题经常用这种方法进行分析
2.本题反复利用等边三角形的性质,证得了两对三角形全等,从而证得△mcn是一个含60o角的等腰三角形,在较复杂的图形中,如何准确地找到所需要的全等三角形是证题的关键.
三、小结本节知识
四、作业:课本151页第13,14题

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