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圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(一)

教学目标 

1.使学生理解圆的旋转不变性,理解圆心角、弦心距的概念;

2.使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论,并初步学会运用这些关系解决有关问题;

3.培养学生观察、分析、归纳的能力,向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律.

教学重点和难点

圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点;从圆的旋转不变性出发,推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点.

教学过程 设计

一、创设情景,引入新课

圆是轴对称图形.圆的这一性质,帮助我们解决了圆的许多问题.今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性.

1.动态演示,发现规律

投影出示图7-47,并动态显示:平行四边形绕对角线交点O旋转180°后.问:


(1)结果怎样?

学生答:和原来的平行四边形重合.

(2)这样的图形叫做什么图形?

学生答:中心对称图形.

投影出示图7-48,并动态显示:⊙O绕圆心O旋转180°.由学生观察后,归纳出:圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.


投影继续演示如图7-49,让直径AB两个端点A,B绕圆心旋转30°,45°,

90°,让学生观察发现什么结论?


得出:不论绕圆心旋转多少度,都能够和原来的图形重合.

进一步演示,让圆绕着圆心旋转任意角度α,你发现什么?

学生答:仍然与原来的图形重合.

于是由学生归纳总结,得出圆所特有的性质:圆的旋转不变性.即圆绕圆心旋转任意一个角度α,都能够与原来的图形重合.

2.圆心角,弦心距的概念.

我们在研究圆的旋转不变性时,⊙O绕圆心O旋转任意角度α后,出现一个角

∠AOB,请同学们观察一下,这个角有什么特点?如图7-50.(如有条件可电脑闪动显示图形.)


在学生观察的基础上,由学生说出这个角的特点:顶点在圆心上.

在此基础上,教师给出圆心角的定义,并板书.

顶点在圆心的角叫做圆心角.

再进一步观察,AB是∠AOB所对的弧,连结AB,弦AB既是圆心角∠AOB也是AB所对的弦.请同学们回忆,在学习垂径定理时,常作的一条辅助线是什么?

学生答:过圆心O作弦AB的垂线.

在学生回答的基础上,教师指出:点O到AB的垂直线段OM的长度,即圆心到弦的距离叫做弦心距.如图7-51.(教师板书定义)最后指出:这节课我们就来研究圆心角之间,以及它们所对的弧、弦、弦的弦心距之间的关系.(引出课题)


二、大胆猜想,发现定理

在图7-52中,再画一圆心角∠A′OB′,如果∠AOB=∠A′OB′,(变化显示两角相等)再作出它们所对的弦AB,A′B′和弦的弦心距OM,OM′,请大家大胆猜想,其余三组量 与 ,弦AB与A′B′,弦心距OM与OM′的大小关系如何?


学生很容易猜出: =,AB=A′B′,OM=OM′.

教师进一步提问:同学们刚才的发现仅仅是感性认识,猜想是否正确,必须进行证明,怎样证明呢?

学生最容易想到的是证全等的方法,但得不到 =,怎样证明弧相等呢?

让学生思考并启发学生回忆等弧的定义是什么?

学生:在同圆或等圆中,能够完全重合的弧叫等弧.

请同学们想一想,你用什么方法让 和 重合呢?

学生:旋转.

下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明 =.

把∠AOB连同 旋转,使OA与OA′重合,电脑开始显示旋转过程.教师边演示边提问.

我们发现射线OB与射线OB′也会重合,为什么?

学生:因为∠AOB=∠A′OB′,

所以射线OB与射线OB′重合.

要证明 与 重合,关键在于点A与点A′,点B与点B′是否分别重合.这两对点分别重合吗?

学生:重合.

你能说明理由吗?

学生:因为OA=OA′,OB=OB′,

所以点A与点A′重合,点B与点B′重合.

当两段孤的两个端点重合后,我们可以得到哪些量重合呢?

学生: 与 重合,弦AB与A′B′重合,OM与OM′重合.

为什么OM也与OM′重合呢?

学生:根据垂线的唯一性.

于是有结论: =,AB=A′B′,OM=OM′.

以上证明运用了圆的旋转不变性.得到结论后,教师板书证明过程,并引导学生用简洁的文字叙述这个真命题.

教师板书定理.

定理:在同圆____中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.

教师引导学生补全定理内容.

投影显示如图7-53,⊙O与⊙O′为等圆,∠AOB=∠A′O′B′,OM与

O′M′分别为AB与A′B′的弦心距,请学生回答 与 .AB与A′B′,OM与O′M′还相等吗?为什么?


在学生回答的基础上,教师指出:以上三组量仍然相等,因为两个等圆可以叠合成同圆.(投影显示叠合过程)

这样通过叠合,把等圆转化成了同圆,教师把定理补充完整.

然后,请同学们思考定理的条件和结论分别是什么?并回答:


定理是在同圆或等圆这个大前提下,已知圆心角相等,得出其余三组量相等.请同学们思考,在这个大前提下,把圆心角相等与三个结论中的任何一个交换位置,可以得到三个新命题,这三个命题是真命题吗?如何证明?

在学生讨论的基础上,简单地说明证明方法.

最后,教师把这四个真命题概括起来,得到定理的推论.

请学生归纳,教师板书.

推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

三、巩固应用、变式练习

例1 判断题,下列说法正确吗?为什么?

(1)如图7-54:因为∠AOB=∠A′OB′,所以AB=.


(2)在⊙O和⊙O′中,如果弦AB=A′B′,那么 =.

分析:(1)、(2)都是不对的.在图7-54中,因为 和 不在同圆或等圆中,不能用定理.对于(2)也缺少了等圆的条件.可让学生举反例说明.

例2 如图7-55,点P在⊙O上,点O在∠EPF的角平分线上,∠EPF的两边交⊙O于点A和B.求证:PA=PB.


让学生先思考,再叙述思路,教师板书示范.

证明:作OM⊥PA,ON⊥PB,垂足为M,N.


把P点当做运动的点,将例2演变如下:

变式1(投影打出)

已知:如图7-56,点O在∠EPF的平分线上,⊙O和∠EPF的两边分别交于点A,B和C,D.

求证:AB=CD.


师生共同分析之后,由学生口述证明过程.

变式2(投影打出)

已知:如图7-57,⊙O的弦AB,CD相交于点P,∠APO=∠CPO,

求证:AB=CD.


由学生口述证题思路.

说明:这组例题均是利用弦心距相等来证明弦相等的问题,当然,也可利用其它方法来证,只不过前者较为简便.

练习1 已知:如图7-58,AD=BC.

求证:AB=CD.


师生共同分析后,学生练习,一学生上黑板板演.

变式练习.已知:如图7-58, =,求证:AB=CD.

四、师生共同小结

教师提问:

(1)这节课学习了哪些具体内容?

(2)本节的定理和推论是用什么方法证明的?

(3)应注意哪些问题?

在学生回答的基础上,教师总结.

(1)这节课主要学习了两部分内容:一是证明了圆是中心对称图形.得到圆的特性——圆的旋转不变性;二是学习了在同圆或等圆中,圆心角、圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距之间的关系定理及推论.这些内容是我们今后证明弧相等、弦相等、角相等的重要依据.

(2)本节通过观察——猜想——论证的方法,从运动变化中发现规律,得出定理及推论,同时遵循由特殊到一般的思维认识规律,渗透了旋转变换的思想.

(3)在运用定理及推论解题时,必须注意要有“在同圆或等圆”这一前提条件.

五、布置作业 

思考题:已知AB和CD是⊙O的两条弦,OM和ON分别是AB和 CD的弦心距,如果AB>CD,那么OM和ON有什么关系?为什么?

板书设计 


课堂教学设计说明

这份教案为1课时.

如果内容多,部分练习题可在下节课中处理.

——摘自《初中几何教案》


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