1、 向量的概念;
2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;
3、向量运算的运用
三、学习指导
1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。
向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。
2、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下:
运 算 图形语言 符号语言 坐标语言
加法与减法
=
- =
记 =(x1,y1), =(x1,y2)
则 =(x1 x2,y1 y2)
- =(x2-x1,y2-y1) =
实数与向量
的乘积
=λ
λ∈r 记 =(x,y)
则λ =(λx,λy) 两个向量
的数量积
· =| || |
cos< , >
记 =(x1,y1), =(x2,y2)
则 · =x1x2 y1y2
3、 运算律
加法: = ,( ) = ( )
实数与向量的乘积:λ( )=λ λ ;(λ μ) =λ μ ,λ(μ )=
(λμ)
两个向量的数量积: · = · ;(λ )· = ·(λ )=λ( · ),( )· = · ·
说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如( ± )2=
4、 重要定理、公式
(1)平面向量基本定理;如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量 ,有且只有一对数数λ1,λ2,满足 =λ1 λ2 ,称λ1 λ λ2 为 , 的线性组合。
根据平面向量基本定理,任一向量 与有序数对(λ1,λ2)一一对应,称(λ1,λ2)为 在基底{ , }下的坐标,当取{ , }为单位正交基底{ , }时定义(λ1,λ2)为向量 的平面直角坐标。
向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若a(x,y),则 =(x,y);当向量起点不在原点时,向量 坐标为终点坐标减去起点坐标,即若a(x1,y1),b(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1)
(2)两个向量平行的充要条件
符号语言:若 ∥ , ≠ ,则 =λ
坐标语言为:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ∥ (x1,y1)=λ(x2,y2),即 ,或x1y2-x2y1=0
在这里,实数λ是唯一存在的,当 与 同向时,λ>0;当 与 异向时,λ<0。
|λ|= ,λ的大小由 及 的大小确定。因此,当 , 确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。
(3)两个向量垂直的充要条件
符号语言: ⊥ · =0
坐标语言:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ⊥ x1x2 y1y2=0
(4)线段定比分点公式
如图,设
则定比分点向量式:
定比分点坐标式:设p(x,y),p1(x1,y1),p2(x2,y2)
则
特例:当λ=1时,就得到中点公式:
,
实际上,对于起点相同,终点共线三个向量 , , (o与p1p2不共线),总有 =u v ,u v=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。共3页，当前第1页123
- 推荐阅读：
- 平面向量教案2
- 平面向量的解题技巧
- 平面向量
- 下学期 5.4 平面向量的坐标运算2
- 下学期 5.4 平面向量的坐标运算1
- 复数的向量表示
(5)平移公式:
① 点平移公式,如果点p(x,y)按 =(h,k)平移至p'(x',y'),则
分别称(x,y),(x',y')为旧、新坐标, 为平移法则
在点p新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两组坐标,一定可以求第三组坐标
②图形平移:设曲线c:y=f(x)按 =(h,k)平移,则平移后曲线c'对应的解析式为y-k=f(x-h)
当h,k中有一个为零时,就是前面已经研究过的左右及上下移
利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于研究曲线的几何性质
(6)正弦定理,余弦定理
正弦定理:
余弦定理:a2=b2 c2-2cbcosa
b2=c2 a2-2cacosb
c2=a2 b2-2abcosc
定理变形:cosa= ,cosb= ,cosc=
正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本,理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。
5、向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平行,求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的"程序性"特点。
四、典型例题
例1、如图, , 为单位向量, 与 夹角为1200, 与 的夹角为450,| |=5,用 , 表示 。
分析:
以 , 为邻边, 为对角线构造平行四边形
把向量 在 , 方向上进行分解,如图,设 =λ , =μ ,λ>0,μ>0
则 =λ μ
∵ | |=| |=1
∴ λ=| |,μ=| |
△ oec中,∠e=600,∠oce=750,由 得:
∴
∴
说明:用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通过构造平行四边形来处理
例2、已知△abc中,a(2,-1),b(3,2),c(-3,-1),bc边上的高为ad,求点d和向量 坐标。
分析:
用解方程组思想
设d(x,y),则 =(x-2,y 1)
∵ =(-6,-3), · =0
∴ -6(x-2)-3(y 1)=0,即2x y-3=0 ①
∵ =(x-3,y-2), ∥
∴ -6(y-2)=-3(x-3),即x-2y 1=0 ②
由①②得:
∴ d(1,1), =(-1,2)
例3、求与向量 = ,-1)和 =(1, )夹角相等,且模为 的向量 的坐标。
分析:
用解方程组思想
法一:设 =(x,y),则 · = x-y, · =x y
∵ < , >=< , >
∴&nb ∴
即 ①
又| |=
∴ x2 y2=2 ②
由①②得 或 (舍)
∴ =
法二:从分析形的特征着手
∵ | |=| |=2
· =0
∴ △aob为等腰直角三角形,如图
∵ | |= ,∠aoc=∠boc
∴ c为ab中点
∴ c( )
说明:数形结合是学好向量的重要思想方法,分析图中的几何性质可以简化计算。
例4、在△oab的边oa、ob上分别取点m、n,使| |∶| |=1∶3,| |∶| |=1∶4,设线段an与bm交于点p,记 = , = ,用 , 表示向量 。
分析:
∵ b、p、m共线
∴ 记 =s
∴ ①
同理,记
∴ = ②
∵ , 不共线
∴ 由①②得 解之得:
∴
说明:从点共线转化为向量共线,进而引入参数(如s,t)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用该定理唯一性的性质得到关于s,t的方程。
例5、已知长方形abcd,ab=3,bc=2,e为bc中点,p为ab上一点
(1) 利用向量知识判定点p在什么位置时,∠ped=450;
(2) 若∠ped=450,求证:p、d、c、e四点共圆。共3页，当前第2页123
- 推荐阅读：
- 平面向量教案2
- 平面向量的解题技巧
- 平面向量
- 下学期 5.4 平面向量的坐标运算2
- 下学期 5.4 平面向量的坐标运算1
- 复数的向量表示
分析:
利用坐标系可以确定点p位置
如图,建立平面直角坐标系
则c(2,0),d(2,3),e(1,0)
设p(0,y)
∴ =(1,3), =(-1,y)
∴
· =3y-1
代入cos450=
解之得 (舍),或y=2
∴ 点p为靠近点a的ab三等分处
(3) 当∠ped=450时,由(1)知p(0,2)
∴ =(2,1), =(-1,2)
∴ · =0
∴ ∠dpe=900
又∠dce=900
∴ d、p、e、c四点共圆
说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:①建立平面直角坐标系;②设点的坐标;③求出有关向量的坐标;④利用向量的运算计算结果;⑤得到结论。
同步练习
(一) 选择题
1、 平面内三点a(0,-3),b(3,3),c(x,-1),若 ∥ ,则x的值为:
a、 -5 b、-1 c、1 d、5
2、平面上a(-2,1),b(1,4),d(4,-3),c点满足 ,连dc并延长至e,使| |= | |,则点e坐标为:
a、(-8, ) b、( ) c、(0,1) d、(0,1)或(2, )
2、 点(2,-1)沿向量 平移到(-2,1),则点(-2,1)沿 平移到:
3、 a、(2,-1) b、(-2,1) c、(6,-3) d、(-6,3)
4、 △abc中,2cosb·sinc=sina,则此三角形是:
a、 直角三角形 b、等腰三角形 c、等边三角形 d、以上均有可能
5、 设 , , 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:
①( · ) -( · ) =0
②| |-| |<| - |
③( · ) -( · ) 不与 垂直
④(3 2 )·(3 -2 )=9| |2-4 |2中,
真命题是:
a、①② b、②③ c、③④ d、②④
6、△abc中,若a4 b4 c4=2c2(a2 b2),则∠c度数是:
a、600 b、450或1350 c、1200 d、300
7、△oab中, = , = , = ,若 = ,t∈r,则点p在
a、∠aob平分线所在直线上 b、线段ab中垂线上
c、ab边所在直线上 d、ab边的中线上
8、正方形pqrs对角线交点为m,坐标原点o不在正方形内部,且 =(0,3), =(4,0),则 =
a、( ) b、( ) c、(7,4) d、( )
(二) 填空题
9、已知{ , |是平面上一个基底,若 = λ , =-2λ - ,若 , 共线,则λ=__________。
10、已知| |= ,| |=1, · =-9,则 与 的夹角是________。
11、设 , 是两个单位向量,它们夹角为600,
则(2 - )·(-3 2 )=____________。
12、把函数y=cosx图象沿 平移,得到函数___________的图象。
(三) 解答题
13、设 =(3,1), =(-1,2), ⊥ , ∥ ,试求满足 = 的 的坐 14、若 =(2,-8), - =(-8,16),求 、 及 与 夹角θ的余弦值。
15、已知| |= ,| |=3, 和 夹角为450,求当向量 λ 与λ 夹角为锐角时,λ的取值范围。
参考答案
(一)1、c 2、b 3、d 4、b 5、d 6、b 7、a 8、a
(二)9、 10、 11、 12、y=sinx 1
(三)13、(11,6)
14、 =(-3,4), =(5,-12),
15、λ< ,或λ> 且λ≠共3页，当前第3页123
- 推荐阅读：
- 平面向量教案2
- 平面向量的解题技巧
- 平面向量
- 下学期 5.4 平面向量的坐标运算2
- 下学期 5.4 平面向量的坐标运算1
- 复数的向量表示