组合

教学目标
（1）使学生正确理解的意义，正确区分排列、问题；
（2）使学生掌握数的计算公式、数的性质用数与排列数之间的关系；
（3）通过学习知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力；
（4）通过对排列、问题求解与剖析，培养学生学习兴趣和思维深刻性，学生具有严谨的学习态度。

教学建议

一、知识结构

二、重点难点分析

本小节的重点是的定义、数及数的公式，数的性质。难点是解的应用题。突破重点、难点的关键是对加法原理与乘法原理的掌握和应用，并将这两个原理的基本思想贯穿在解决应用题当中。

与数，也有上面类似的关系。从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个。所有这些不同的的个数叫做数。从集合的角度看，从n个元素的有限集中取出m个组成的一个集合（无序集），相当于一个，而这种集合的个数，就是相应的数。

解排列应用题时主要应抓住是排列问题还是问题，其次要搞清需要分类，还是需要分步.切记：排组分清（有序排列、无序），加乘明确（分类为加、分步为乘）.

三、教法设计

1.对于基础较好的学生，建议把排列与的概念进行对比的进行学习，这样有利于搞请这两组概念的区别与联系.

2.学生与老师可以合编一些排列问题，如“45人中选出5人当班干部有多少种选法？”与“45人中选出5人分别担任班长、副班长、体委、学委、生委有多少种选法？”这是两个相近问题，同学们会根据自己身边的实际可以编出各种各样的具有特色的问题，教师要引导学生辨认哪个是排列问题，哪个是问题.这样既调动了学生学习的积极性，又在编题辨题中澄清了概念.

为了理解排列与的概念，建议大家学会画排列与的树图.如，从a,b,c,d 4个元素中取出3个元素的排列树图与树图分别为：

排列树图

由排列树图得到，从a,b,c,d 取出3个元素的所有排列有24个，它们分别是：abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc.……dca,dcb.

树图

由树图可得，从a,b,c,d中取出3个元素的有4个，它们是(abc),(abd),(acd),(bcd).

从以上两组树图清楚的告诉我们，排列树图是对称的，图式不是对称的，之所以排列树图具有对称性，是因为对于a,b,c,d四个字母哪一个都有在第一位的机会，哪一个都有在第二位的机会，哪一个都有在第三位的机会，而只考虑字母不考虑顺序，为实现无顺序的要求，我们可以限定a,b,c,d的顺序是从前至后，固定了死顺序等于无顺序，这样就有了自己的树图.

学会画树图，不仅有利于理解排列与的概念，还有助于推导数的计算公式.

3.排列的应用问题，教师应从简单问题问题入手，逐步到有一个附加条件的单纯排列问题或问题，最后在设及排列与的综合问题.

对于每一道题目，教师必须先让学生独立思考，在进行全班讨论，对于学生的每一种解法，教师要先让学生判断正误，在给予点播.对于排列、应用问题的解决我们提倡一题多解，这样有利于培养学生的分析问题解决问题的能力，在学生的多种解法基础上教师要引导学生选择最佳方案，总结解题规律.对于学生解题中的常见错误，教师一定要讲明道理，认真分析错误原因，使学生在是非的判断得以提高.

4.两个性质定理教学时，对定理1，可以用下例来说明：从4个不同的元素a，b，c，d里每次取出3个元素的及每次取出1个元素的分别是

这就说明从4个不同的元素里每次取出3个元素的与从4个元素里每次取出1个元素的是—一对应的.

对定理2，可启发学生从下面问题的讨论得出.从n个不同元素 ， ，…， 里每次取出m个不同的元素（ ），问：（1）可以组成多少个；（2）在这些里，有多少个是不含有 的； （3）在这些里，有多少个是含有 的；（4）从上面的结果，可以得出一个怎样的公式.在此基础上引出定理2.

对于 ，和 一样，是一种规定.而学生常常误以为是推算出来的，因此，教学时要讲清楚.

教学设计示例

教学目标

（1）使学生正确理解的意义，正确区分排列、问题；

（2）使学生掌握数的计算公式；

（3）通过学习知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力；

教学重点难点

重点是的定义、数及数的公式；

难点是解的应用题.

教学过程设计

（－）导入  新课

（教师活动）提出下列思考问题，打出字幕.

［字幕］一条铁路线上有6个火车站，（1）需准备多少种不同的普通客车票？（2）有多少种不同票价的普通客车票？上面问题中，哪一问是排列问题？哪一问是问题？

（学生活动）讨论并回答.

答案提示：（1）排列；（2）.

［评述］问题（1）是从6个火车站中任选两个，并按一定的顺序排列，要求出排法的种数，属于排列问题；（2）是从6个火车站中任选两个并成一组，两站无顺序关系，要求出不同的组数，属于问题.这节课着重研究问题.

设计意图：与排列所研究的问题几乎是平行的.上面设计的问题目的是从排列知识中发现并提出新的问题.

（二）新课讲授

［提出问题 创设情境］

（教师活动）指导学生带着问题阅读课文.

［字幕］1.排列的定义是什么？

2.举例说明一个是什么？

3.一个与一个排列有何区别？

（学生活动）阅读回答.

（教师活动）对照课文，逐一评析.

设计意图：激活学生的思维，使其将所学的知识迁移过渡，并尽快适应新的环境.

【归纳概括  建立新知】

（教师活动）承接上述问题的回答，展示下面知识.

［字幕］模型：从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个.如前面思考题：6个火车站中甲站→乙站和乙站→甲站是票价相同的车票，是从6个元素中取出2个元素的一个.

数：从 个不同元素中取出 个元素的所有的个数，称之，用符号 表示，如从6个元素中取出2个元素的数为 .

［评述］区分一个排列与一个的关键是：该问题是否与顺序有关，当取出元素后，若改变一下顺序，就得到一种新的取法，则是排列问题；若改变顺序，仍得原来的取法，就是问题.

（学生活动）倾听、思索、记录.

（教师活动）提出思考问题.

［投影］ 与 的关系如何？

（师生活动）共同探讨.求从 个不同元素中取出 个元素的排列数 ，可分为以下两步：

第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的数为 ；

第2步，求每一个中 个元素的全排列数为 .

根据分步计数原理，得到

［字幕］公式1：

公式2：

（学生活动）验算 ，即一条铁路上6个火车站有15种不同的票价的普通客车票.

设计意图：本着以认识概念为起点，以问题为主线，以培养能力为核心的宗旨，逐步展示知识的形成过程，使学生思维层层被激活、逐渐深入到问题当中去.

【例题示范  探求方法】

（教师活动）打出字幕，给出示范，指导训练.

［字幕］例1  列举从4个元素 中任取2个元素的所有.

例2  计算：（1） ；（2） .

（学生活动）板演、示范.

（教师活动）讲评并指出用两种方法计算例2的第2小题.

［字幕］例3  已知 ，求 的所有值.

（学生活动）思考分析.

解  首先，根据的定义，有

①

其次，由原不等式转化为

即

解得 ②

综合①、②，得 ，即

［点评］这是数公式的应用，关键是公式的选择.

设计意图：例题教学循序渐进，让学生巩固知识，强化公式的应用，从而培养学生的综合分析能力.

【反馈练习  学会应用】

（教师活动）给出练习，学生解答，教师点评.

［课堂练习］课本P99练习第2，5，6题.

［补充练习］

［字幕］1.计算：

2.已知 ，求 .

 （学生活动）板演、解答.

设计意图：课堂教学体现以学生为本，让全体学生参与训练，深刻揭示排列数公式的结构、特征及应用.

【点评矫正  交流提高】

（教师活动）依照学生的板演，给予指正并总结.

补充练习答案：

1.解：原式：

2.解：由题设得

整理化简得 ，

解之，得 或 （因 ，舍去），

所以 ，所求

［字幕］小结：

1.前一个公式主要用于计算具体的数，而后一个公式则主要用于对含有字母的式子进行化简和论证.

2.在解含数的方程或不等式时，一定要注意数的上、下标的限制条件.

（学生活动）交流讨论，总结记录.

设计意图：由“实践——认识——一实践”的认识论，教学时抓住“学习—一练习——反馈———小结”这些环节，使教学目标得以强化和落实.

（三）小结

（师生活动）共同小结.

本节主要内容有

1.概念.

2.数计算的两个公式.

（四）布置作业 

1.课本作业 ：习题10 3第1（1）、（4），3题.

2.思考题：某学习小组有8个同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种学科竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中，男、女同学各有多少人？

3.研究性题：

在 的 边上除顶点 外有 5个点，在 边上有 4个点，由这些点（包括 ）能组成多少个四边形？能组成多少个三角形？

    （五）课后点评

    在学习了排列知识的基础上，本节课引进了概念，并推导出数公式，同时调控进行训练，从而培养学生分析问题、解决问题的能力.

    作业 参考答案

    2.解；设有男同学 人，则有女同学 人，依题意有 ，由此解得 或 或2.即男同学有5人或6人，女同学相应为3人或2人.

    3.能组成 （注意不能用 点为顶点）个四边形， 个三角形.

探究活动

同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，那么四张不同的分配万式可有多少种？

解  设四人分别为甲、乙、丙、丁，可从多种角度来解.

解法一  可将拿贺卡的情况，按甲分别拿乙、丙、丁制作的贺卡的情形分为三类，即：

甲拿乙制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法.

甲拿丙制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法.

甲拿丁制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法.

由加法原理得，贺卡分配方法有3+3+3=9种.

解法二  可从利用排列数和数公式角度来考虑.这时还存在正向与逆向两种思考途径.

正向思考，即从满足题设条件出发，分步完成分配.先可由甲从乙、丙、丁制作的贺卡中选取1张，有 种取法，剩下的乙、丙、丁中所制作贺卡被甲取走后可在剩下的3张贺卡中选取1张，也有 种，最后剩下2人可选取的贺卡即是这2人所制作的贺卡，其取法只有互取对方制作贺卡1种取法.根据乘法原理，贺卡的分配方法有 （种）.

逆向思考，即从4人取4张不同贺卡的所有取法中排除不满足题设条件的取法.不满足题设条件的取法为，其中只有1人取自己制作的贺卡，其中有2人取自己制作的贺卡，其中有3人取自己制作的贺卡（此时即为4人均拿自己制作的贺卡）.其取法分别为   1.故符合题设要求的取法共有 （种）.

说明（1）对一类元素不太多而利用排列或计算公式计算比较复杂，且容易重复遗漏计算的排列问题，常可采用直接分类后用加法原理进行计算，如本例采用解法一的做法.

（2）设集合 ，如果S中元素的一个排列 满足 ，则称该排列为S的一个错位排列.本例就属错位排列问题.如将S的所有错位排列数记为 ，则 有如下三个计算公式（李宇襄编著《数学》，北京师范大学出版社出版）：

①

②

③

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