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课题 对数函数

教学目标

在指数函数及反函数概念的基础上,使学生掌握对数函数的概念,能正确描绘对数函数的图像,掌握对数函数的性质,并初步应用性质解决简单问题.

通过对数函数的学习,树立相互联系,相互转化的观点,渗透数形结合,分类讨论的思想.

通过对数函数有关性质的研究,培养学生观察,分析,归纳的思维能力,调动学生学习的积极性.

教学重点,难点

重点是理解对数函数的定义,掌握图像和性质.

难点是由对数函数与指数函数互为反函数的关系,利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质.

教学方法

启发研讨式

教学用具

投影仪

教学过程

引入新课

今天我们一起再来研究一种常见函数.前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的,今天我们将从反函数的角度介绍新的函数.

反函数的实质是研究两个函数的关系,所以自然我们应从大家熟悉的函数出发,再研究其反函数.这个熟悉的函数就是指数函数.

提问:什么是指数函数?指数函数存在反函数吗?

由学生说出 是指数函数,它是存在反函数的.并由一个学生口答求反函数的过程:

由 得 .又 的值域为 ,

所求反函数为 .

那么我们今天就是研究指数函数的反函数-----对数函数.

2.8对数函数 (板书)

对数函数的概念

定义:函数 的反函数 叫做对数函数.

由于定义就是从反函数角度给出的,所以下面我们的研究就从这个角度出发.如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的认识是什么?

教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识,从而找出对数函数的定义域为 ,对数函数的值域为 ,且底数 就是指数函数中的 ,故有着相同的限制条件 .

在此基础上,我们将一起来研究对数函数的图像与性质.

二.对数函数的图像与性质 (板书)

作图方法

提问学生打算用什么方法来画函数图像?学生应能想到利用互为反函数的两个函数图像之间的关系,利用图像变换法画图.同时教师也应指出用列表描点法也是可以的,让学生从中选出一种,最终确定用图像变换法画图.

由于指数函数的图像按 和 分成两种不同的类型,故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况 和 ,并分别以 和 为例画图.

具体操作时,要求学生做到:

指数函数 和 的图像要尽量准确(关键点的位置,图像的变化趋势等).

画出直线 .

的图像在翻折时先将特殊点 对称点 找到,变化趋势由靠近 轴对称为逐渐靠近 轴,而 的图像在翻折时可提示学生分两段翻折,在 左侧的先翻,然后再翻在 右侧的部分.

学生在笔记本完成具体操作,教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍,画出

和 的图像.(此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内)如图:

 

草图.

教师画完图后再利用投影仪将 和 的图像画在同一坐标系内,如图:

然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质(要求从几何与代数两个角度说明)

性质

定义域:

值域:

由以上两条可说明图像位于 轴的右侧.

截距:令 得 ,即在 轴上的截距为1,与 轴无交点即以 轴为渐近线.

奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数,即它不关于原点对称,也不关于 轴对称.2页,当前第112

单调性:与 有关.当 时,在 上是增函数.即图像是上升的

当 时,在 上是减函数,即图像是下降的.

之后可以追问学生有没有最大值和最小值,当得到否定答案时,可以再问能否看待何时函数值为正?学生看着图可以答出应有两种情况:

当 时,有 ;当 时,有 .

学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法:当底数与真数在1的同侧时函数值为正,当底数与真数在1的两侧时,函数值为负,并把它当作第(6)条性质板书记下来.

最后教师在总结时,强调记住性质的关键在于要脑中有图.且应将其性质与指数函数的性质对比记忆.(特别强调它们单调性的一致性)

对图像和性质有了一定的了解后,一起来看看它们的应用.

三.简单应用 (板书)

研究相关函数的性质

求下列函数的定义域:

(1) (2) (3)

先由学生依次列出相应的不等式,其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制.

利用单调性比较大小 (板书)

比较下列各组数的大小

(1) 与 ; (2) 与 ;

(3) 与 ;(4) 与 .

让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同,故可以构造对数函数利用单调性来比大小.最后让学生以其中一组为例写出详细的比较过程.

三.巩固练习

练习:若 ,求 的取值范围.

四.小结

五.作业 略

板书设计

教案点评:

根据教材内容和课程标准的要求,本节课的重点是理解对数函数的定义,掌握图像和性质。教案的编写从四个环节设计教学过程。各个教学环节,依据教学内容和教学目标的不同要求,呈现的教学方式、方法各有不同,第一个环节从复习指数函数开始,有学生熟悉的指数函数入手,引起学生兴趣;第二个环节是对数函数的定义;第三个环节:因为学生已经具有一定的作图能力,让学生画出常见的几个函数图象,并总结出对数函数的性质。第四个环节:简单应用。因此通过学生之间、师生之间的交流、讨论,使知识系统化、条理化,利于学生记忆对数函数的性质。

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