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平面向量的数量积及运算律(1)

教学目的:
1 掌握平面向量的数量积及其几何意义;
2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;
3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;
4 掌握向量垂直的条件
教学重点:平面向量的数量积定义
教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教    具:多媒体、实物投影仪
内容分析:
    本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识 主要知识点:平面向量数量积的定义及几何意义;平面向量数量积的5个重要性质;平面向量数量积的运算律
教学过程:
一、复习引入:    
1. 向量共线定理  向量 与非零向量 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使 =λ 
2.平面向量基本定理:如果 , 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数λ1,λ2使 =λ1 +λ2
3.平面向量的坐标表示
  分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底 任作一个向量 ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 、 ,使得
把 叫做向量 的(直角)坐标,记作
4.平面向量的坐标运算
若 , ,
则  ,  , 
若 , ,则
5. ∥  (  )的充要条件是x1y2-x2y1=0
6.线段的定比分点及λ
  p1, p2是直线l上的两点,p是l上不同于p1, p2的任一点,存在实数λ,
使  =λ ,λ叫做点p分 所成的比,有三种情况:
λ>0(内分)      (外分) λ<0 (λ<-1)    ( 外分)λ<0  (-1<λ<0)

7 定比分点坐标公式:
若点p1(x1,y1) ,p2(x2,y2),λ为实数,且 =λ ,则点p的坐标为( ),我们称λ为点p分 所成的比
8 点p的位置与λ的范围的关系:
①当λ>0时, 与 同向共线,这时称点p为 的内分点
②当λ<0( )时, 与 反向共线,这时称点p为 的外分点
9 线段定比分点坐标公式的向量形式:
在平面内任取一点o,设 = , = ,
可得 = 
10.力做的功:w = | || |cos,是 与 的夹角
二、讲解新课:
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量 与 ,作 = , = ,则∠aob=θ(0≤θ≤π)叫 与 的夹角
说明:(1)当θ=0时, 与 同向;
(2)当θ=π时, 与 反向;
(3)当θ= 时, 与 垂直,记 ⊥ ;
(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的 范围0≤≤180
 
2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 与 ,它们的夹角是θ,则数量| || |cos叫 与 的数量积,记作  ,即有   = | || |cos,
(0≤θ≤π) 并规定 与任何向量的数量积为0
探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos的符号所决定
(2)两个向量的数量积称为内积,写成  ;今后要学到两个向量的外积 × ,而  是两个向量的数量的积,书写时要严格区分 符号“• ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替 3页,当前第1123
(3)在实数中,若a0,且ab=0,则b=0;但是在数量积中,若  ,且  =0,不能推出 =  因为其中cos有可能为0
(4)已知实数a、b、c(b0),则ab=bc  a=c
但是   =       = 
   如右图:   = | || |cos = | ||oa|,  = | || |cos = | ||oa|
    =     但   
 (5)在实数中,有(aa)c = a(ac),但是(  )    (  )
                显然,这是因为左端是与 共线的向量,而右端是与 共线的向量,而一般 与 不共线
3.“投影”的概念:作图
              
定义:| |cos叫做向量 在 方向上的投影
投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当 = 0时投影为 | |;当 = 180时投影为 | |
4.向量的数量积的几何意义:
数量积  等于 的长度与 在 方向上投影| | os的乘积
5.两个向量的数量积的性质:
设 、 为两个非零向量, 是与 同向的单位向量
1    =    =| |cos
2        = 0
3 当 与 同向时,   = | || |;当 与 反向时,   = | || |
 特别的   = | |2或
4  os =
5|  | ≤ | || |
三、讲解范例:
例1 判断正误,并简要说明理由
① • = ;②0• =0;③ - = ;④| • |=| || |;⑤若 ≠ ,则对任一非零 有 • ≠0;⑥ • =0,则 与 中至少有一个为 ;⑦对任意向量 , , 都有( • ) = ( • );⑧ 与 是两个单位向量,则 2= 2
解:上述8个命题中只有③⑧正确;
对于①:两个向量的数量积是一个实数,应有 • =0;
对于②:应有0• = ;
对于④:由数量积定义有| • |=| |•| |•|cosθ|≤| || |,这里θ是 与 的夹角,只有θ=0或θ=π时,才有| • |=| |•| |;
对于⑤:若非零向量 、 垂直,有 • =0;
对于⑥:由 • =0可知 ⊥ 可以都非零;
对于⑦:若 与 共线,记 =λ 
则 • =(λ )• =λ( • )=λ( • ),
∴( • )• =λ( • ) =( • )λ =( • )
若 与 不共线,则( • ) ≠( • ) 
评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律
例2 已知| |=3,| |=6,当① ∥ ,② ⊥ ,③ 与 的夹角是60°时,分别求 •  3页,当前第2123
解:①当 ∥ 时,若 与 同向,则它们的夹角θ=0°,
∴ • =| |•| |cos0°=3×6×1=18;
若 与 反向,则它们的夹角θ=180°,
∴ • =| || |cos180°=3×6×(-1)=-18;
②当 ⊥ 时,它们的夹角θ=90°,
∴ • =0;
③当 与 的夹角是60°时,有
 • =| || |cos60°=3×6× =9
评述:两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°,180°],因此,当 ∥ 时,有0°或180°两种可能
四、课堂练习:
五、小结  通过本节学习,要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律,并能运用它们解决相关的问题
六、课后作业:
七、板书设计(略)
八、课后记及备用资料:
1 概念辨析:正确理解向量夹角定义
对于两向量夹角的定义,两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角,因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误,如:
1 已知△abc中, =5, =8,c=60°,求 • 
对此题,有同学求解如下:
解:如图,∵| |= =5,| |= =8,c=60°,
∴ • =| |•| |cosc=5×8cos60°=20
分析:上述解答,乍看正确,但事实上确实有错误,原因就在于没能正确理解向量夹角的定义,即上例中 与 两向量的起点并不同,因此,c并不是它们的夹角,而正确的夹角应当是c的补角120°
2 向量的数量积不满足结合律
分析:若有( • ) = •( • ),设 、 夹角为 , 、 夹角为β,则( • ) =| |•| |cosα• ,
 •( • )= •| || |cosβ
∴若 = ,α=β,则| |=| |,进而有:( • ) = •( • )
这是一种特殊情形,一般情况则不成立 举反例如下:
已知| |=1,| |=1,| |= , 与 夹角是60°, 与 夹角是45°,则:
( • )• =(| |•| |cos60°) =  ,
 •( • )=(| |•| |cos45°) =
而  ≠ ,故( • )• ≠ •( • )

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