4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质(第二课时)
(一)教学具准备
直尺,投影仪.
(二)教学目标
1.掌握 , 的定义域、值域、最值、单调区间.
2.会求含有 、 的三角式的定义域.
(三)教学过程
1.设置情境
研究函数就是要讨论一些性质, , 是函数,我们当然也要探讨它的一些属性.本节课,我们就来研究正弦函数、余弦函数的最基本的两条性质.
2.探索研究
师:同学们回想一下,研究一个函数常要研究它的哪些性质?
生:定义域、值域,单调性、奇偶性、等等.
师:很好,今天我们就来探索 , 两条最基本的性质——定义域、值域.(板书课题正、余弦函数的定义域、值域.)
师:请同学看投影,大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像.
师:请同学思考以下几个问题:
(1)正弦、余弦函数的定义域是什么?
(2)正弦、余弦函数的值域是什么?
(3)他们最值情况如何?
(4)他们的正负值区间如何分?
(5) 的解集如何?
师生一起归纳得出:
(1)正弦函数、余弦函数的定义域都是 .
(2)正弦函数、余弦函数的值域都是 即 , ,称为正弦函数、余弦函数的有界性.
(3)取最大值、最小值情况:
正弦函数 ,当 时,( )函数值 取最大值1,当 时,( )函数值 取最小值-1.
余弦函数 ,当 ,( )时,函数值 取最大值1,当 ,( )时,函数值 取最小值-1.
(4)正负值区间:
( )
(5)零点: ( )
( )
3.例题分析
【例1】求下列函数的定义域、值域:
(1) ; (2) ; (3) .
解:(1) ,
(2)由 ( )
又∵ ,∴
∴定义域为 ( ),值域为 .
(3)由 ( ),又由
∴
∴定义域为 ( ),值域为 .
指出:求值域应注意用到 或 有界性的条件.
【例2】求下列函数的最大值,并求出最大值时 的集合:
(1) , ; (2) , ;
(3) (4) .
解:(1)当 ,即 ( )时, 取得最大值
∴函数的最大值为2,取最大值时 的集合为 .
(2)当 时,即 ( )时, 取得最大值 .
∴函数的最大值为1,取最大值时 的集合为 .
(3)若 , ,此时函数为常数函数.
若 时, ∴ 时,即 ( )时,函数取最大值 ,
∴ 时函数的最大值为 ,取最大值时 的集合为 .
(4)若 ,则当 时,函数取得最大值 .
若 ,则 ,此时函数为常数函数.
若 ,当 时,函数取得最大值 .
∴当 时,函数取得最大值 ,取得最大值时 的集合为 ;当 时,函数取得最大值 ,取得最大值时 的集合为 ,当 时,函数无最大值.
指出:对于含参数的最大值或最小值问题,要对 或 的系数进行讨论.
思考:此例若改为求最小值,结果如何?
【例3】要使下列各式有意义应满足什么条件?
(1) ; (2) .
解:(1)由 ,
∴当 时,式子有意义.
(2)由 ,即
∴当 时,式子有意义.
4.演练反馈(投影)
(1)函数 , 的简图是( )
(2)函数 的最大值和最小值分别为( )
A.2,-2 B.4,0 C.2,0 D.4,-4
(3)函数 的最小值是( )
A. B.-2 C. D.
(4)如果 与 同时有意义,则 的取值范围应为( )
A. B. C. D. 或
(5) 与 都是增函数的区间是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
(6)函数 的定义域________,值域________, 时 的集合为_________.
参考答案:1.B 2.B 3.A 4.C 5.D
6. ; ;
5.总结提炼
(1) , 的定义域均为 .
(2) 、 的值域都是
(3)有界性:
(4)最大值或最小值都存在,且取得极值的 集合为无限集.
(5)正负敬意及零点,从图上一目了然.
(6)单调区间也可以从图上看出.
(五)板书设计
1.定义域 2.值域 3.最值 4.正负区间 5.零点 例1 | 例2 例3 课堂练习 |
课后思考题:求函数 的最大值和最小值及取最值时的 集合
提示: