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3.1.1方程的根与函数的零点 公开课教案

教学目标:

1、          能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

2、          理解函数的零点与方程的联系。

3、          渗透由特殊到一般的认识规律,提升学生的抽象和概括能力。

教学重点、难点:

1、          重点:理解函数的零点与方程根的联系,使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。

2、          难点:函数零点存在的条件。

教学过程:

1、          问题引入

探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

出示表格,引导学生填写表格,并分析填出的表格,从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标,探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

一元二次方程
 方程的根
 二次函数
 图像与x轴的交点
 
x2-2x-3=0
 x1=-1,x2=3
 y=x2-2x-3
 (-1,0),(3,0)
 
x2-2x+1=0
 x1= x2=1
 y=x2-2x+1
 (1,0)
 
x2-2x+3=0
 无实数根
 y=x2-2x+3
 无交点
 

 (图1-1)函数y=x2-2x-3的图像

 
(图1-2)函数y=x2-2x+1的图像

 (图1-3)函数y=x2-2x+3的图像

归纳:

(1)                   如果一元二次方程没有实数根,相应的二次函数图像与x轴没有交点;

(2)                   如果一元二次方程有实数根,相应的二次函数图像与x轴有交点。

反之,二次函数图像与x轴没有交点,相应的一元二次方程没有实数根;

二次函数图像与x轴有交点,则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。

2、          函数的零点

(1) 概念

对于函数y=f(x)(x∈d),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈d)的零点。

(2) 意义

方程f(x)=0有实数根

                    函数y=f(x)的图像与x轴有交点

           函数y=f(x)有零点

(3) 求函数的零点

①  代数法:求方程f(x)=0的实数根

②  几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来,并利用函数的性质找出零点。

3、          函数零点的存在性

(1) 二次函数的零点

△=b2-4ac
 ax2+bx+c=0的实数根
 y=ax2+bx+c的零点数
 
△﹥0
 有两个不等的实数根x1、x2
 两个零点x1、 x2
 
△=0
 有两个相等的实数根x1= x2
 一个零点x1(或x2)2页,当前第112
 
△﹤0
 没有实数根
 没有零点
 
(图2-1)方程ax2+bx+c=0的判别式△﹥0时,函数y= ax2 +bx+c(a≠0)的图像

(图2-2)方程ax2+bx+c=0的判别式△=0时,函数y= ax2+bx+c(a≠0)的图像

(图2-3)方程ax2+bx+c=0的判别式△﹤0时,函数y= ax2 +bx+c(a≠0)的图像

 

(2) 探究发现

          问题1:二次函数y=x2-2x-3在区间[-2,1]上有零点。试计算f(-2)与f(1)的乘积有什么特点?

          解:f(-2)=(-2)2-2*(-2)-3=4+4-3=5

              f(1)=12 -2*1-3=1-2-3=-4

               f(2)* f(1)=-4*5=-20﹤0

          问题2:在区间[2,4]呢?

          解:f(2)=(2)2-2*2-3=-3

              f(4)=42-2*4-3=5

              f(4)*f(2)=(-3)* 5=-15﹤0                                                                                                                   

          归纳:

f(2)* f(1)﹤0,函数y=x2-2x-3在[-2,1]内有零点x=-1;f(2)* f(4)﹤0,函数y=x2-2x-3在[2,4]内有零点x=3,它们分别是方程y=x2-2x-3的两个根。

结论:

如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线并且有 ,那么,函数 在区间 内有零点,即存在 ,使得 ,这个 也就是方程 的根。

①   图像在 上的图像是连续不断的

②  

③   函数 在区间 内至少有一个零点

4、          习题演练

利用函数图像判断下列二次函数有几个零点

①   y=-x2+3x+5 , ②y=2x(x-2)+3

解:①令f(x)=-x2+3x+5,

 做出函数f(x)的图像,如下

(图4-1)

它与x轴有两个交点,所以方程-x2+3x+5=0有两个不相等的实数根,则函数y=-x2+3x+5有两个零点。

②y=2x(x-2)+3可化为

做出函数f(x)的图像,如下:

 (图4-2)

它与x轴没有交点,所以方程2x(x-2)=-3无实数根,则函数y=2x(x-2)+3没有零点。

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