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下学期 5.3实数与向量的积1

(第一课时)

一.教学目标 

1.理解并掌握实数与向量的积的意义.

2.理解两个向量共线的充要条件,能根据条件判断两个向量是否共线;

3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了解事物运动变化的辩证思想.

二.教学重点:实数与向量的积的定义、运算律,向量共线的充要条件;

教学难点 :理解实数与向量的积的定义,向量共线的充要条件;

三.教学具准备

直尺、投影仪.

四.教学过程 

1.设置情境

我们知道,位移、力、速度、加速度等都是向量,而时间、质量等都是数量,这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现,如力与加速度的关系f=ma,位移与速度的关系s=vt.这些公式都是实数与向量间的关系.

师:我们已经学习了向量的加法,请同学们作出 和 向量,(已知向量已作在投影片上),并请同学们指出相加后,和的长度与方向有什么变化?这些变化与哪些因素有关?

生: 的长度是 的长度的3倍,其方向与 的方向相同, 的长度是 长度的3倍,其方向与 的方向相反.

师:很好!本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题,(板书课题:实数与向量的乘积(一))

2.探索研究

师:请大家根据上述问题并作一下类比,看看怎样定义实数与向量的积?可结合教材思考.

生:我想这样规定:实数 与向量 的积就是 ,它还是一个向量.

师:想法很好.不过我们要对实数 与向量 相乘的含义作一番解释才行.

实数 与向量 的积是一个向量,记作 ,它的长度和方向规定如下:

(1)

(2) 时, 的方向与 的方向相同;当 时, 的方向与 的方向相反;特别地,当 或 时,

下面我们讨论作为数乘向量的基本运算律:

师:求作向量 和 ( 为非零向量)并进行比较,向量 与向量 相等吗?(引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较)

生: ,

师:设 、 为任意向量, , 为任意实数,则有:

(1) (2) (3)

通常将(1)称为结合律,(2)(3)称为分配律,有时为了区别,也把(2)叫第一分配律,(3)叫第二分配律.

请看例题

【例1】计算:(1) , (2) .

(3)

解:(1)原式

(2)原式

(3)原式 .

下面我们研究共线向量与实乘向量的关系.

师:请同学们观察 , ,有什么关系.

生:因为 ,所以 、 是共线向量.

师:若 、 是共线向量,能否得出 ?为什么,可得出 吗?为什么?

生:可以!因为 、 共线,它们的方向相同或相反.

师:由此可得向量共线的充要条件.向量 与非零向量 共线的充分必要条件是有且仅有一个实数 ,使得

此即教材中的定理.

对此定理的证明,是两层来说明的.

其一,若存在实数 ,使 ,则由实数与向量乘积定义中的第(2)条知 与 共线,即 与 共线.

其二,若 与 共线,且不妨令 ,设 (这是实数概念).接下来看 、 方向如何:① 、 同向,则 ,②若 、 反向,则记 ,总而言之,存在实数 ( 或 )使 .

【例2】如图:已知 , ,试判断 与 是否共线.

解:∵

∴ 与 共线.

练习(投影仪)

设 、 是两个不共线向量,已 , ,若 、 、 三点共线,求 的值.

参考答案

∵ 、 、 三点共线.

∴ 、 共线 存在实数 ,使

∴ ,

3.练习反馈(投影仪)

(1)若 为 的对角线交点, , ,则 等于(     )

A.          B.          C.            D.

(2)在△ 中,点 、 、 分别是边 、 、 的中点,那么 .

(3)如图所示,在平行四边形 中, 是 中点,点 是 上一点, 求证 、 、 三点共线.

参考答案

(1)B; (2) ;

(3)设 , 则 又 ,∴ ∴ 、 、 共线.

4.总结提炼

(1) 与 的积还是向量, 与 是共线的.

(2)一维空间向量的基本定理的内容和证明思路,也是应用该定理解决问题的思路.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.

(3)运算律暗示我们,化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项.

五.板书设计 

1.实数与向量的积定义

2.运算律

3.向量共线定理

例1

2

演练反馈

总结提炼