(第一课时)
一.教学目标
1.理解并掌握实数与向量的积的意义.
2.理解两个向量共线的充要条件,能根据条件判断两个向量是否共线;
3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了解事物运动变化的辩证思想.
二.教学重点:实数与向量的积的定义、运算律,向量共线的充要条件;
教学难点 :理解实数与向量的积的定义,向量共线的充要条件;
三.教学具准备
直尺、投影仪.
四.教学过程
1.设置情境
我们知道,位移、力、速度、加速度等都是向量,而时间、质量等都是数量,这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现,如力与加速度的关系f=ma,位移与速度的关系s=vt.这些公式都是实数与向量间的关系.
师:我们已经学习了向量的加法,请同学们作出 和 向量,(已知向量已作在投影片上),并请同学们指出相加后,和的长度与方向有什么变化?这些变化与哪些因素有关?
生: 的长度是 的长度的3倍,其方向与 的方向相同, 的长度是 长度的3倍,其方向与 的方向相反.
师:很好!本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题,(板书课题:实数与向量的乘积(一))
2.探索研究
师:请大家根据上述问题并作一下类比,看看怎样定义实数与向量的积?可结合教材思考.
生:我想这样规定:实数 与向量 的积就是 ,它还是一个向量.
师:想法很好.不过我们要对实数 与向量 相乘的含义作一番解释才行.
实数 与向量 的积是一个向量,记作 ,它的长度和方向规定如下:
(1)
(2) 时, 的方向与 的方向相同;当 时, 的方向与 的方向相反;特别地,当 或 时,
下面我们讨论作为数乘向量的基本运算律:
师:求作向量 和 ( 为非零向量)并进行比较,向量 与向量 相等吗?(引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较)
生: ,
师:设 、 为任意向量, , 为任意实数,则有:
(1) (2) (3)
通常将(1)称为结合律,(2)(3)称为分配律,有时为了区别,也把(2)叫第一分配律,(3)叫第二分配律.
请看例题
【例1】计算:(1) , (2) .
(3)
解:(1)原式
(2)原式
(3)原式 .
下面我们研究共线向量与实乘向量的关系.
师:请同学们观察 , ,有什么关系.
生:因为 ,所以 、 是共线向量.
师:若 、 是共线向量,能否得出 ?为什么,可得出 吗?为什么?
生:可以!因为 、 共线,它们的方向相同或相反.
师:由此可得向量共线的充要条件.向量 与非零向量 共线的充分必要条件是有且仅有一个实数 ,使得
此即教材中的定理.
对此定理的证明,是两层来说明的.
其一,若存在实数 ,使 ,则由实数与向量乘积定义中的第(2)条知 与 共线,即 与 共线.
其二,若 与 共线,且不妨令 ,设 (这是实数概念).接下来看 、 方向如何:① 、 同向,则 ,②若 、 反向,则记 ,总而言之,存在实数 ( 或 )使 .
【例2】如图:已知 , ,试判断 与 是否共线.
解:∵
∴ 与 共线.
练习(投影仪)
设 、 是两个不共线向量,已 , ,若 、 、 三点共线,求 的值.
参考答案
∵ 、 、 三点共线.
∴ 、 共线 存在实数 ,使
即
∴ ,
3.练习反馈(投影仪)
(1)若 为 的对角线交点, , ,则 等于( )
A. B. C. D.
(2)在△ 中,点 、 、 分别是边 、 、 的中点,那么 .
(3)如图所示,在平行四边形 中, 是 中点,点 是 上一点, 求证 、 、 三点共线.
参考答案:
(1)B; (2) ;
(3)设 , 则 又 ,∴ ∴ 、 、 共线.
4.总结提炼
(1) 与 的积还是向量, 与 是共线的.
(2)一维空间向量的基本定理的内容和证明思路,也是应用该定理解决问题的思路.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.
(3)运算律暗示我们,化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项.
五.板书设计
1.实数与向量的积定义 2.运算律 ① ② ③ 3.向量共线定理 | 例1 2 演练反馈 总结提炼 |