函数最值求法及运用
一.经验系统梳理:
1).问题思考的角度: 1. 几何角度；2. 代数角度
2).问题解决的优化策略:
ⅰ、优化策略代数角度:
1. 消元 2. 换元 3. 代换
4. 放缩 ① 经验放缩, ② 公式放缩. ③ 条件放缩. (显在条件、隐含条件)]
ⅱ、几何角度: 经验特征策略分析问题的几何背景 .线性规划、斜率、距离等
3).核心思想方法: 划归转化思想;等价转化思想.
若 ，则
二、体验训练：
1.线性规划问题
已知双曲线方程为 求 的最小值
2.斜率问题
已知函数 的定义域为 ，且 为 的导函数，函数 的图像如图所示.若两正数 满足 ，则 的取值范围是 .
3.距离问题
3、由直线 上的一点向圆 引切线，则切线长的最小值为 .
练习1.已知点 是直线 上动点， 、 是圆
的两条切线， 、 是切点，若四边形 的最小面积是 ，则 .
练习2.已知实数 满足不等式组 ，则 的最小值为 ；
4.消元法
已知函数 ，若 且 则 的取值范围为
练习：设函数 ，若 且 则 的取值范围为 .
5.换元法
1.求下列函数的最大值或最小值：
（1） ； （2） ；
（3）若函数 的最大值是正整数m，则m=_______ 7
解：（1） ，由 得 ，
∴当 时，函数取最小值 ，当 时函数取最大值 .
（2）令 ，则 ，∴ ，
当 ，即 时取等号，∴函数取最大值 ，无最小值.
2.已知 ,且夹角为 如图点c在以o为圆心的圆弧上动.若 则求 的最大值.
6.代换法
设 为正实数，满足 ，则 的最小值是 3
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用.由 得 ，代入 得 ，当且仅当 ＝3 时取“＝”.
设正实数 满足 则 的最大值为 ▲ 1 .
7.公式放缩法
函数 ， 的最小值为：_________ 5
错解：∵ ∴ ，
又 为定值 故利用基本不等式得
即y的最小值为4
点评：利用基本不等式必须满足三个条件：即“一正、二定、三等”，而本题只满足前两个条件，不满足第三个条件，即 不成立。
设 为实数，若 则 的最大值是 。
8.放缩法、换元法
已知二次函数 的值域是 .那么 的最小值是 .
9.综合探讨：
满足条件 的三角形 的面积的最大值
【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想.设bc＝ ，则ac＝ ，
根据面积公式得 = ，根据余弦定理得
，代入上式得
=
由三角形三边关系有 解得 ，共2页，当前第1页12
故当 时取得 最大值
解析2：若 ，则 的最大值 。
【解析】本小题考查三角形面积公式及函数思想。
因为ab=2（定长），可以以ab所在的直线为 轴，其中垂线为 轴建立直角坐标系，则 ，设 ，由 可得 ，化简得 ，即c在 以（3，0）为圆心， 为半径的圆上运动。又 。
答案
7、设 ，则函数( 的最小值是
17.如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 的池底水平铺设污水净化管道 ， 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口 是 的中点， 分别落在线段 上.已知 米， 米，记 .
（1）试将污水净化管道的长度 表示为 的函数,并写出定义域；
（2）若 ，求此时管道的长度 ；
（3）问：当 取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.
解：（1） ，
由于 ，
，
， .
(2) 时， ;
（3） =
设 则
由于 ，所以
在 内单调递减，于是当 时 时
的最大值 米.
答：当 或 时所铺设的管道最短，为 米.