4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质(第三课时)
(一)教学具准备
直尺、投影仪.
(二)教学目标
1.理解 , 的周期性概念,会求周期.
2.初步掌握用定义证明 的周期为 的一般格式.
(三)教学过程
1.设置情境
自然界里存在着许多周而复始的现象,如地球的自转和公转,物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周运动等.数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知,角 的终边每转一周又会与原来的位置重合,故 , 的值也具有周而复始的变化规律.为定量描述这种周而复始的变化规律,今天,我们来学习一个新的数学概念——函数的周期性(板书课题)
2.探索研究
(1)周期函数的定义
引导学生观察下列图表及正弦曲线
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正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时,函数值就重复出现.
联想诱导公式 ,若令 则 ,由这个例子,我们可以归纳出周期函数的定义:
对于函数 ,如果存在一个非零常数 ,使得当 取定义域内的每一个值时,都有 ,那么函数 叫做周期函数,非零常数 叫做这个函数的周期.
如 , ,…及 , …都是正弦函数的周期.
注意:周期函数定义中 有两点须重视,一是 是常数且不为零;二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立.
师:请同学们思考下列问题:①对于函数 , 有 能否说 是正弦函数 的周期.
生:不能说 是正弦函数 的周期,这个等式虽成立,但不是对定义域的每一个值都使等式 成立,所以不符合周期函数的定义.
② 是周期函数吗?为什么
生:若是周期函数,则有非零常数 ,使 ,即 ,化简得 ,∴ (不非零),或 (不是常数),故满足非零常数 不存在,因而 不是周期函数.
思考题:若 为 的周期,则对于非零整数 , 也是 的周期.(课外思考)
(2)最小正周期的定义
师:我们知道…, , , , …都是正弦函数的周期,可以证明 ( 且 )是 的周期,其中 是 的最小正周期.
一般地,对于一个周期函数 ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 的最小正周期.
今后若涉及的周期,如果不加特别说明,一般都是指函数的最小正周期.
依据定义, 和 的最小正周期为 .
(3)例题分析
【例1】求下列函数的周期:
(1) , ; (2) , ;
(3) , .
分析:由周期函数的定义,即找非零常数 ,使 .
解:(1)因为余弦函数的周期是 ,所以自变量 只要并且至少要增加到 ,余弦函数的值才能重复取得,函数 , 的值也才能重复取得,从而函数 , 的周期是 .
即 ,∴
(2)令 ,那么 必须并且只需 ,且函数 , 的周期是 ,就是说,变量 只要并且至少要增加到 ,函数 , 的值才能重复取得,而 所以自变量 只要并且至少要增加到 ,函数值就能重复取得,从而函数 , 的周期是 .
即
∴
(3)令 ,那么 必须并且只需 ,且函数 , 的周期是 ,由于 ,所以自变量 只要并且至少要增加到 ,函数值才能重复取得,即 是能使等式 成立的最小正数,从而函数 , 的周期是 .
而
∴
师:从上例可以看出,这些函数的周期仅与自变量 的系数有关,其规律如何?你能否求出函数 , 及函数 , (其中 , , 为常数,且 , )的周期?
生:
∴ .
同理可求得 的周期 .
【例2】求证:
(1) 的周期为 ;
(2) 的周期为 ;
(3) 的周期为 .
分析:依据周期函数定义 证明.
证明:(1)
∴ 的周期为 .
(2)
∴ 的周期为 .
(3)
∴ 的周期为 .
3.演练反馈(投影)
(1)函数 的最小正周期为( )
A. B. C. D.
(2) 的周期是_________
(3)求 的最小正周期.
参考答案:
(1)C;(2) ∴
(3)欲求 的周期,一般是把三角函数 化成易求周期的函数 或 的形式,然后用公式 求最小正周期,而化得的一般思路是“多个化一个,高次化一次”,将所给函数化成单角单函数.
由
4.总结提炼
(1)三角函数所特有的性质是周期性,周期与最小正周期是不同概念,研究三角函数的周期时,如未特别声明,一般是指它的最小正周期.
(2)设 , .若 为 的周期,则必有:① 为无限集,② ;③ 在 上恒成立.
(3)只有 或 型的三角函数周期才可用公式 ,不具有此形式,不能套用.如 ,就不能说它的周期为 .
(四)板书设计
课题 1.周期函数定义 两点注意: 思考问题① ② 2.最小正周期定义 例1 | 例2 的周期 的周期 练习反馈 总结提炼 |
思考题:设 是定义在 上的以2为周期的周期函数,且是偶函数,当 时, ,求 上的表达式
参考答案: