(1)知识结构
(2)重点、难点分析
重点:切线长定理及其应用.因切线长定理再次体现了圆的轴对称性,它为证实线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据,它属于工具知识,经常应用,因此它是本节的重点.
难点:与切线长定理有关的证实和计算问题.如120页练习题中第3题,它不仅应用切线长定理,还用到解方程组的知识,是代数与几何的综合题,学生往往不能很好的把知识连贯起来.
2、教法建议
本节内容需要一个课时.
(1)在教学中,组织学生自主观察、猜想、证实,并深刻剖析切线长定理的基本图形;对重要的结论及时总结;
(2)在教学中,以“观察——猜想——证实——剖析——应用——归纳”为主线,开展在教师组织下,以学生为主体,活动式教学.
教学目标
1.理解切线长的概念,把握切线长定理;
2.通过对例题的分析,培养学生分析总结问题的习惯,提高学生综合运用知识解题的能力,培养数形结合的思想.
3.通过对定理的猜想和证实,激发学生的学习爱好,调动学生的学习积极性,树立科学的学习态度.
教学重点:
切线长定理是教学重点
教学难点:
切线长定理的灵活运用是教学难点
教学过程设计:
(一)观察、猜想、证实,形成定理
1、切线长的概念.
如图,p是⊙o外一点,pa,pb是⊙o的两条切线,我们把线段pa,pb叫做点p到⊙o的切线长.
引导学生理解:切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.
2、观察
利用电脑变动点p 的位置,观察图形的特征和各量之间的关系.
3、猜想
引导学生直观判定,猜想图中pa是否等于pb. pa=pb.
4、证实猜想,形成定理.
猜想是否正确。需要证实.
组织学生分析证实方法.关键是作出辅助线oa,ob,要证实pa=pb.
想一想:根据图形,你还可以得到什么结论?
∠opa=∠opb(如图)等.
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
5、归纳:
把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质
6、切线长定理的基本图形研究
如图,pa,pb是⊙o的两条切线,a,b为切点.直线op交⊙o于点d,e,交ap于c
(1)写出图中所有的垂直关系;
(2)写出图中所有的全等三角形;
(3)写出图中所有的相似三角形;
(4)写出图中所有的等腰三角形.
说明:对基本图形的深刻研究和熟悉是在学习几何中关键,它是灵活应用知识的基础.共3页，当前第1页123
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(二)应用、归纳、反思
例1、已知:如图,p为⊙o外一点,pa,pb为⊙o的切线,
a和b是切点,bc是直径.
求证:ac∥op.
分析:从条件想,由p是⊙o外一点,pa、pb为⊙o的切线,a,b是切点可得pa=pb,∠apo=∠bpo,又由条件bc是直径,可得ob=oc,由此联想到与直径有关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等.于是想到可能作辅助线ab.
从结论想,要证ac∥op,假如连结ab交op于o,转化为证ca⊥ab,op ⊥ab,或从od为△abc的中位线来考虑.也可考虑通过平行线的判定定理来证,可获得多种证法.
证法一.如图.连结ab.
pa,pb分别切⊙o于a,b
∴pa=pb∠apo=∠bpo
∴ op ⊥ab
又∵bc为⊙o直径
∴ac⊥ab
∴ac∥op (学生板书)
证法二.连结ab,交op于d
pa,pb分别切⊙o于a、b
∴pa=pb∠apo=∠bpo
∴ad=bd
又∵bo=do
∴od是△abc的中位线
∴ac∥op
证法三.连结ab,设op与ab弧交于点e
pa,pb分别切⊙o于a、b
∴pa=pb
∴ op ⊥ab
∴ =
∴∠c=∠pob
∴ac∥op
反思:教师引导学生比较以上证法,激发学生的学习爱好,培养学生灵活应用知识的能力.
例2、 圆的外切四边形的两组对边的和相等.
(分析和解题略)
反思:(1)例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质,请学生记住结论.(2)圆内接四边形的性质:对角互补.
p120练习:
练习1填空
如图,已知⊙o的半径为3厘米,po=6厘米,pa,pb分别切⊙o于a,b,则pa=_______,∠apb=________
练习2已知:在△abc中,bc=14厘米,ac=9厘米,ab=13厘米,它的内切圆分别和bc,ac,ab切于点d,e,f,求af,ad和ce的长.
分析:设各切线长af,bd和ce分别为x厘米,y厘米,z厘米.后列出关于x , y,z的方程组,解方程组便可求出结果.
(解略)
反思:解这个题时,除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外,还要用到解方程组的知识,是一道综合性较强的计算题.通过对本题的研究培养学生的综合应用知识的能力.
(三)小结
1、提出问题学生归纳
(1)这节课学习的具体内容;
(2)学习用的数学思想方法;
(3)应注重哪些概念之间的区别?
2、归纳基本图形的结论
3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法.
(四)作业
教材p131习题7.4a组1.(1),2,3,4.b组1题.共3页，当前第2页123
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探究活动
图中找错
你能找出(图1)与(图2)的错误所在吗?
在图2中,p1a为⊙o1和⊙o3的切线、p1b为⊙o1和⊙o2的切线、p2c为⊙o2和⊙o3的切线.
提示:在图1中,连结pc、pd,则pc、pd都是圆的直径,从圆上一点只能作一条直径,所以此图是一张错图,点o应在圆上.
在图2中,设p1a=p1b=a,p2b=p2c=b,p3a=p3c=c,则有
a= p1a= p1p3 p3a= p1p3 c①
c= p3c= p2p3 p3a= p2p3 b②
a= p1b= p1p2 p2b= p1p2 b③
将②代人①式得
a = p1p3 (p2p3 b)= p1p3 p2p3 b,
∴ab= p1p3 p2p3
由③得ab= p1p2得
∴p1p2= p2p3 p1p3
∴p1、p 2 、p3应重合,故图2是错误的.共3页，当前第3页123
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