一、 知识要点 本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。有理数的概念可以利用数轴来认识、理解，同时，利用数轴又可以把这些概念串在一起。有理数的运算是全章的重点。在具体运算时，要注意四个方面，一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算。基础知识：1、正数（position number）：大于0的数叫做正数。2、负数（negation number）：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。3、0既不是正数也不是负数。4、有理数（rational number）：正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。5、数轴（number axis）：通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴满足以下要求：（1） 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）；（2） 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；（3） 选取适当的长度为单位长度。6、相反数（opposite number）：绝对值相等，只有负号不同的两个数叫做互为相反数。7、绝对值（absolute value）一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。记做|a|。由绝对值的定义可得：|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。8、有理数加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0.（3）一个数同0相加，仍得这个数。加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。表达式：a+b=b+a。加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。表达式：（a+b）+c=a+（b+c）9、有理数减法法则减去一个数，等于加这个数的相反数。表达式：a-b=a+（-b）10、有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0.乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。表达式：ab=ba乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。表达式：（ab）c=a（bc）乘法分配律：一般地，一个数同两个的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。表达式：a（b+c）=ab+ac11、倒数 1除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1。12、有理数除法法则：两数相除，同号得负，异号得正，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0.13、有理数的乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）。an中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。共5页，当前第1页12345根据有理数的乘法法则可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。14、有理数的混合运算顺序（1）“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。15、科学技术法：把一个大于10的数表示成a﹡10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数（即0<a<10），n是正整数）。16、近似数（approximate number）：17、有理数可以写成m/n（m、n是整数，n≠0）的形式。另一方面，形如m/n（m、n是整数，n≠0）的数都是有理数。所以有理数可以用m/n（m、n是整数，n≠0）表示。拓展知识：1、 数集：把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。（1） （1）所有有理数组成的数集叫做有理数集；（2） （2）所有的整数组成的数集叫做整数集。2、 任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示，体现了数形结合的数学思想。3、 根据绝对值的几何意义知道：|a|≥0，即对任何有理数a，它的绝对值是非负数。4、 比较两个有理数大小的方法有：（1） 根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较；（2） 根据规定进行比较：两个正数；正数与零；负数与零；正数与负数；两个负数，体现了分类讨论的数学思想；（3） 做差法：a-b>0 ⇔a>b;（4） 做商法：a/b>1，b>0 ⇔a>b. 二、 基础训练选择题1、下列运算中正确的是（ ）. a. a2·a3=a6 b. =2 c. |（3-π）|=－π－3 d. 32=-92、下列各判断句中错误的是（ ） a.数轴上原点的位置可以任意选定b.数轴上与原点的距离等于 个单位的点有两个c.与原点距离等于-2的点应当用原点左边第2个单位的点来表示d.数轴上无论怎样靠近的两个表示有理数的点之间，一定还存在着表示有理数的点。3、 、 是有理数，若 ＞ 且 ，下列说法正确的是（ ） a. 一定是正数 b. 一定是负数 c. 一定是正数 d. 一定是负数 4、两数相加，如果比每个加数都小，那么这两个数是（ ） a.同为正数 b.同为负数 c.一个正数，一个负数 d.0和一个负数 5、两个非零有理数的和为零，则它们的商是（） a.0 b.-1 c.+1 d.不能确定共5页，当前第2页12345 6、一个数和它的倒数相等，则这个数是（ ） a.1 b.-1 c. ±1 d. ±1和0 7、如果|a|=-a，下列成立的是（ ） a.a>0 b.a<0 c.a>0或a=0 d.a<0或a=0 8、（-2）11+（-2）10的值是（ ）a.-2 b.（-2）21 c.0 d.-2109、已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有16个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水（ ） a. 3瓶 b. 4瓶 c. 5瓶 d. 6瓶 10、在下列说法中，正确的个数是（ ）⑴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 ⑵数轴上的每一个点都表示一个有理数 ⑶任何有理数的绝对值都不可能是负数 ⑷每个有理数都有相反数 a、1 b、2 c、3 d、411、如果一个数的相反数比它本身大，那么这个数为（ ）a、正数 b、负数c、整数 d、不等于零的有理数12、下列说法正确的是（ ） a、几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负；b、几个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负；c、几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；d、几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个；填空题 1、在有理数-7， ，-（-1.43）， ，0， ，-1.7321中，是整数的有_____________是负分数的有_______________。2、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的____边，与原点的距离是____个单位长度；表示数-a的点在原点的____边，与原点的距离是____个单位长度。共5页，当前第3页123453、如果一个数是6位整数，用科学记数法表示它时，10的指数是_____；用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是___________. 4、实数a、b、c在数轴上的位置如图：化简|a－b|+|b－c|-|c－a|. 5、绝对值大于1而小于4的整数有_____________________________________，其和为___________. 6、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则（a+b）3-3（cd）4=________.7、1-2+3-4+5-6+……+-值是____________. 8、若（a-1）2+|b+2|=0，那么a+b=_____________________. 9、平方等于它本身的有理数是___________,立方等于它本身的有理数是_____________. 10、用四舍五入法把3.1415926精确到千分位是 ，用科学记数法表示302400，应记为 ,近似数3.0× 精确到 位。 11、正数–a的绝对值为__________；负数–b的绝对值为________12、甲乙两数的和为-23.4，乙数为-8.1，甲比乙大 13、在数轴上表示两个数， 的数总比 的大。（用“左边”“右边”填空）14、数轴上原点右边4.8厘米处的点表示的有理数是32，那么，数轴左边18厘米处的点表示的有理数是____________。三、强化训练1、计算：1+2+3+…++=__________.2、已知： 若 （a,b均为整数）则a+b= 3、观察下列等式，你会发现什么规律： ， ， ，。。。请将你发现的规律用只含一个字母n（n为正整数）的等式表示出来 4、已知 ，则 ___________5、已知 是整数， 是一个偶数，则a是 （奇，偶）6、已知1+2+3+…+31+32+33==17×33，求1-3+2-6+3-9+4-12+…+31-93+32-96+33-99的值。7、在数1，2，3，…，50前添“+”或“－”，并求它们的和，所得结果的最小非负数是多少？请列出算式解答。8、如果有理数a,b满足∣ab－2∣+(1－b)2=0，试求 +…+ 的值。9、如果规定符号“*”的意义是a*b=ab/（a+b），求2*（-3）*4的值。10、已知|x+1|=4，（y+2）2=4，求x+y的值。11、投资股票是一种很重要的投资方式，但股市的风云变化又牵动了股民的心。例：某股民在上星期五买进某种股票500股，每股60元，下表是本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）：星期一二三四五每股涨跌+4+4.5-1-2.5-6（1） （1） 星期三收盘时，每股是多少元？（2） （2） 本周内最高价是每股多少元？最低价是多少元？（3） （3） 已知买进股票是付了1.5‰的手续费，卖出时需付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易费，如果在星期五收盘前将全部股票一次性地卖出，他的收益情况如何？共5页，当前第4页12345（4） （4） 以买进的股价为0点，用折线统计图表示本周该股的股价情况。四、竞赛训练：1、 最小的非负有理数与最大的非正有理数的和是 2、 乘积 ＝ 3、 比较大小：a＝ ，b＝ ，则a b4、 满足不等式104≤a≤105的整数a的个数是x×104+1，则x的值是（ ）a、9 b、8 c、7 d、65、 最小的一位数的质数与最小的两位数的质数的积是（ ）a、11 b、22 c、26 d、336、 比较 7、 计算：8、 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).9、 计算：10、计算11、计算1+3+5+7+…+1997+1999的值 12、计算 1+5+52+53+…+599+5100的值.13、有理数 均不为0，且 设 试求代数式 之值。14、已知a、b、c为实数，且 ，求 的值。15、已知： 。16、解方程组 。17、若a、b、c为整数，且 ，求 的值。共5页，当前第5页12345
