角的度量

教学建议

一、知识结构

二、重点、难点分析

本节教学的重点是角度计算中的进位制问题、互余与互补的概念；难点是互余与互补概念的理解和应用.熟练掌握的相关知识可以为进一步研究相交线、平行线打下基础.

1.度、分、秒的互换：如果一个角比1°还小，那么怎样度量它的大小？为了更精密地度量角.我们把1°的角60等份，每一份叫做1分的角，1分记作1'；又把1'的角60等份，每一份叫做1秒的角，1秒记作1''.即1°＝60'，1'＝60''.这表明角的度、分、秒是60进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的.例如：∠α的度数是32度48分51秒.记作∠α＝32°48'51''.除法过程中，要注意度、分、秒是六十进制的，要把度的余数乘以60化为分，继续除得精确到分，把分的余数乘以60化为秒，继续除得精确到秒的近似值.

2.若两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，若两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角.理解这两个概念，要把握以下几点：（1）必须具备两个角；（2）两个角的和是一个定值：互余两角的和是 ，互补两角的和是 ；（3）与两个角的位置无关，只考虑两角间的数量关系.

3.结合小学已经学过的概念，说明小于平角的角可以按照大小分成三类.分类的思想对于科学研究比较重要.要按照某种特征进行分类，例如按照大小、按照轻重，等等.分类要不重不漏.就是说，在把一群事物分类时，要使其中的每一事物都归入某一类，不能无类可归（不漏），并且只归入某一类，不能既归入这一类，又归入另一类或另几类（不重）.这里只是初步渗透分类的思想，以后还要遇到分类，如三角形的分类.

三、教法建议

1.本节的教学内容中，对分类的数学思想加强了要求，由于分类的思想不是第一次出现，因此，可以简单进行小结，使得学生能够加深认识.使学生自己能对一些事物进行分类.

2.在角的内容中，对角的进位制要加以重视，因为这是与十进制不同的进制，以后由于不同的需要还会遇到不同的进制，在这里讲清楚后，以后再遇到，就会感到自然了.同时对于60这个数的特点进行分析，使学生对角的一些运算能很灵活.

3.角的单位中的大、小单位的互化比课本的要求要高，应该尽可能的掌握.

4.本节在对学生活动的安排上，时间可多一些，教师也可以根据情况酌情安排.在安排学生自己出题时，应多加鼓励，尽量用学生自己出的题.目的是调动学生学习的积极性.

教学设计示例

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1.理解互为余角、互为补角的定义.

2.掌握有关补角和余角的性质.

3.应用以上知识点解决有关计算和简单推理问题.

（二）能力训练点

1.通过例3的讲解，培养学生用代数方法解几何问题的思路.

2.通过有关余角、补角性质的推导，初步培养学生逻辑思维和推理能力.

（三）德育渗透点

通过互余、互补角性质的推导，说明事物之间具有普遍的联系性.

（四）美育渗透点

通过互余、互补的演示，使学全体会几何图形的动态美，通过性质的推导，使学生初步领略几何逻辑推理的严密美.

二、学法引导

1.教师教法：引导发现、尝试指导相结合.

2.学生学法：学生积极参与，动手动脑，与主动发现相结合；

三、重点·难点·疑点及解决办法

（一）重点

互为余角、互为补角的角的概念及有关余角、补角的性质.

（二）难点

有关余角和有关补角性质的推导.

（三）疑点

互余、互补的两个角图形的位置关系.

（四）解决办法

对重点、难点，应巧妙引导学生去发现，通过动手、动脑解决问题.

对疑点，由学生思考并讨论，互相叙述“为什么”并相互纠正，同时，由教师进行逻辑点拨.

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪或电脑、三角板、自制胶片.

六、师生互动活动设计

1.通过教师演示，学生活动的方法创设情境，引出课题.

2.通过学生讨论，归纳总结出互余、互补的定义，并通过两个练习对定义加以巩固.

3.通过教师出示问题，学生思考并相互叙述，最后教师加以点拨的方法完成第一个性质的逻辑推理，其他性质由教师出示问题，学生模仿完成，最后学生做反馈练习.

4.通过教师提问、学生回答完成图表的方法进行本节课的小结.

七、教学步骤 

（一）明确目标

正确理解互余、互补的定义并掌握其性质，并能运用进行简单的计算和推理.

（二）整体感知

通过教师演示和指导，学生动手动脑参与，顺利地使学生理解和掌握互余、互补的定义和性质，并通过对图形的识别和性质的理解，完成一些简单的计算和推理.

（三）教学过程 

创设情境，引入课题

师：上节课，我们学习了度量，认识了平角和直角，请同学们在练习本上画出一个平角和一个直角，并标明其度数.

学生画图形的同时，投影显示以下图形，见图1及图2：

教师演示：在以上两个图形的基础上，利用电脑（或投影），分别过两个角的顶点作活动射线 ，任意改变射线位置，让学生观察，如下图1及图2：

学生活动：过自己所画两个角的顶点，任意作射线 ，同时观察老师演示.

提出问题：射线 把平角 ，直角 分别分成了几个角？它们的度数关系如何？

（学生容易答出：分成两个角， ， .）

教师演示：把射线 固定一个位置不动，然后把两个图形中的角保持大小不变，拉开，如图1及图2（或拉开更远些，多变换几种位置）.

提出问题： 与 的和还是 吗？ 与 的和还是 吗？

学生活动：观察教师演示过程中的图形变换，同桌可相互讨论，回答教师提出的问题.

【教法说明】 与 ， 与 位置变换，前提是其大小不变.改变位置关系目的是：避免提出互补、互余角的概念后，学生误认为只有有公共顶点且和为 ， 的两个角才是互补、互余的角.

根据学生回答，教师肯定结论：

不论 、 、 、 的位置关系如何变化，只要大小不变， 与 的和永远是平角， 与 的和永远是直角.像这样具有特殊关系的角，我们分别叫它们互为补角和互为余角.这就是我们要学习的一节中又一新知识.（板书课题）

［板书］1.6 

【教法说明】  注重学生的参与意识，要让学生手脑并动，通过不断演示，学生观察，教师逐步提出问题，让学生养成自己发现问题，并没法解决问题的良好习惯.

探究新知

1.互为余角、互为补角的定义

提出问题：你能根据前面老师的演示和说明，叙述一下具有什么关系的两个角叫互为余角和互为补角吗？

学生活动：同桌相互讨论，互相纠正和补充，找学生口述.

【教法说明】通过学生亲自动手画图，观察老师的演示，对互余、互补角概念的理解，可以说已经水到渠成.教师不必包办代替，要让学生自己总结归纳，以训练其归纳总结及口头表达能力.

教师根据学生回答，给予肯定后给出答案：

［板书］

互为余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫互为余角.其中一个角叫做另一个角的余角.

直为补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角.其中一个角叫做另一个角的补角.

2.提出问题，理解定义.（投影显示）

（1）以上定义中的“互为”是什么意思？

（2）若 ，那么 互为补角吗？

（3）互为余角、互为补角的两个角是否一定有公共顶点？

学生讨论以上三个问题.

【教法说明】对定义的理解，提出的三个问题很关键，让学生讨论发表自己的见解，比教师单纯强调“注意”效果要好得多，同时也培养学生全面分析、考虑问题的能力.

通过学生回答，教师对以上三个问题给予肯定或否定.

反馈练习：投影显示

【教法说明】第l、2两题可由学生抢答，这两题是为以下例3做铺垫的.第1题实质上也是把定义的文字语言转化成几何语言，强调反之也成立.通过第3题要培养学生的识图能力.

2.有关互余、互补角的性质

师：通过以上练习，我们对互余、互补角的概念有了较深刻的理解，下面我们提出一个新问题，看你们能否解决.

投影出示：

【教法说明】学生思考并讨论，同桌互相叙述“为什么”讲相互纠正.有时学生间的交流比师生对话效果会更好.

找学生试述“为什么”，估计逻辑性不会太强，教师可加以点拨：解决几何问题往往要从已知入手，联想出结论：如由 与 互补你想到什么结论？（ ） 与 互补呢？（ ）.因为要比较的是 与 的大小，以上两式可表示为： ， .已知中 ，则 一定等于 .

教师边引导学生叙述边板书出较规范的格式：

［板书］

∵ 与 互补，∴ 即 .

∵ 与 互补，∴ 即 .

∵ ，∴ .

【教法说明】此问题中的“为什么”实际上是几何中的推理问题，要有严密的逻辑性.学生第一次接触，因此，“放”可以，而且必须“收”.教师引导由已知产生联想，一环紧扣一环，写出推理过程，渗透“∵  ∴”的书写格式.

提出问题：通过以上题目，你是否发现了两个等角的补角间有怎样的关系？你能试着总结吗？

【教法说明】由学生发现性质，并归纳总结，培养学生由具体题日抽象出几何命题的能力和语言表达能力.学会由具体到抽象考虑问题的方法.

学生活动：同桌讨论，并互相叙述总结规律.

教师对学生回答进行纠正、整理后板书，并给出符号语言，强调此性质的应用.

［板书］同角或等角的补角相等.∵ ， ，∴ .

提出问题： 与 互余， 与 互余，若 ，那么 等于 吗？为什么？你由此问题又能得出什么结论？

学生活动：教师不给任何提示的情况下，在练习本上仿照例4的格式，写出“为什么”及得出的结论.

教师找同学回答后板书.

［板书］同角或等角的余角相等.∵ ， ，∴ .

师：有关余角和补角的性质很有用，以后遇到有同角（或等角）的补角就可以根据这个性质，知道它们都相等.

反馈练习：投影显示

【教法说明】第1、2两题主要强调互余、互补角性质的应用，设计成活动胶片（或电脑课件）把图中的角多变换几个位置.第2题中当拼成两相交线时为下一步学习对顶角相等做准备.第3题可以找 、 的余角有几个，把题再拓宽些.

（四）总结、扩展

以提问的形式列出下表

思考题（投影出示）

1.锐角的余角一定是锐角吗？

2.一个锐角和一个钝角一定互为补角吗？

3.一个角的补角比这个角的余角大多少度？

4.相等且互补的两个角各是多少度？

5.一个角的补角一定比这个角大吗？

【教法说明】小结后由学生看书，让学生提出问题，学生提出以上问题，则发动同学们讨论，没提出以上问题教师再提出，由学生讨论.

八、布置作业 

课本第38页练习第1、2题.

作业 答案

1.较大角是 ，比萨斜塔倾斜了 .

2. 的补角是 ，余角是 .

九、板书设计