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立方根

一、教学目标

1.了解和开立方的概念;

2.会用根号表示一个数的,掌握开立方运算;

3.培养学生用类比的思想求的运算能力;

4.由立方与的教学,渗透数学的转化思想;

5.通过符号的引入体验数学的简洁美.

二、教学重点和难点

教学重点:的概念与性质.

教学难点:会求某些数的.

三、教学方法

启发式,讲练结合

四、教学手段

幻灯片.

五、教学过程

(一)复习提问

请同学们回忆一下,平方根我们是如何定义的?平方根有哪些性质?

在同学们回答后,启发学生是否可试着给数的下个定义.

1.的概念:

如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的.(也称数a的三次方根)

用数学式表示为:

若x3=a,则x叫做a的,或称x叫做a的三次方根.

2.的表示方法:

类似于平方根德表示方法,数a的我们用符号 来表示.读作“三次根号下a”,其中a叫做被开方数,3叫做根指数,注意,在前面我们学习平方根的表示方法说过当根指数为2时可以省略不写,现在是了,这个根指数3是绝对不可省的,否则就会与平方根混淆了,例如 表示125的,而 则表示125的算术平方根.

练习:用根号表示下列各数的:

3.开立方概念:

求一个数的的运算,叫做开立方.

4.开立方运算与立方运算互为逆运算.

因此,我们可以根据立方运算来求一些数的.

例1. 求下列各数的:

解:(1)∵(-2)3=-8,

(2)∵23=8,

(4)∵  (0.6)3=0.216,

(5)∵03=0,

下面我们思考这样一个问题:一个正数有几个平方根?负数有没有平方根?一个正数有几个?负数有没有?请学生来回答这个问题.由前面刚刚做过的题我们不难看出像8、0.126、103、 这样的正数,有一个正的;像-8、 、 这样的负数有一个负的;0的是0.由此我们得了的性质.

5.的性质:

(1)正数有一个正的.

(2)负数有一个负的.

(3)0的是0.

这里我们不妨与平方根的性质做个比较,平方根中,正数有两个平方根,它们互为相反数,正数只有一个正的;在平方根中负数是没有平方根的,而负数有一个负的;平方根与唯一相同之处是0的平方根,都是它本身.


例2.求下列各式的值:

解:(1)∵33=27,

(2)∵ (-3)3=-27,

(5)∵  (102)3=106,

(6)∵  (103)3=109

例3. 解方程:

(1)x3=0.125;(2)3(x-4)3-1536=0.

解:(1)x3=0.125

x=0.5.

(2)3(x-4)3-1536=0(此题可由学生先做,教师纠正错误)

3(x-4)3=1536

(x-4)3=512

x-4=8

x=12.

尽管我们学习了,而我们也只能由的定义求解x3=a(a为常数)这一类型的

简单的三次方程,所以像第(2)小题,我们要把(x-4)看成一个整体,依然转化成为x3=a的形式,再由定义去解.

填空练习:

(1)1的平方根是____;为____;算术平方根为____.

(2)平方根是它本身的数是____.

(3)是其本身的数是____.

(4)算术平方根是其本身的数是________.

(5) 的为________.

(6) 的平方根为________.

(7) 的为________ .

(8)一个自然数的算术平方根是a,那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是____________;是____________.

解:(1)±1;1;1.

(2)0.(此题学生容易把1也算进去,注意纠正他们的错误.)

(3)±1和0.(由此题,再复习一道的性质.)

(4)0,1.(此题有学生可能会忘掉0.)

(5)-2(此题学生易得出-4的答案,应引导学生将 翻译为-8,在求,也有学生将 看成 得到 ,讲解时注意)

(6) (此题首先让学生把 计算出来,再求平方根,而且平方根有两个)

(7)-2.

(8) , (此题引导学生先根据算术平方根来表示被开方数为a2,再表示相邻的下一个自然数为a2+1,注意表示其平方根时有两个值.)

六、总结

今天我们主要学习了的概念和性质,一定要与平方根的概念和性质相对比去理解.平方根与是今后我们学习中经常会用到的两个非常重要的概念,希望同学们能够熟练地掌握它,尤其是它们之间的联系与区别.

七、作业 

教材p.141练习1、2、4.

八、板书设计

探究活动

近似值的求法

当是一位整数时,很容易求出这个;但当是两位或两位以上的整数时,也能容易地求出吗?例如求140608的,怎样求容易?

下面就介绍它的巧妙求法.

先用前三位数140来确定的十位数.因为53<140<63,所以十位数是5,而不是6.再用最后一位数8来确定的个位数.因为23=8,所以个位数是2.就是说,140608的是52.确定的个位数时要注意下面规律:我们知道:13=1,43=64,53=125,63=216,93=729,就是说当被开方数的末位数是1、4、5、6、9时,的个位数就等于它本身(1、4、5、6、9);

因为23=8,83=512,就是说当被开方数的末位数是8和2时,的个位数就分别是2和8,叫做2与8互换原则;同样还有3与7互换原则(被开方数的末位数分别是3和7,的个位数就分别是7和3).

一般地,如果103<a<1003,且a是能开尽立方的数,那么就能用这种方法求a的.请用这种方法求下列各数的:

21952,50653,79507,287496,970299.

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