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“转圈”中的数学
----“探索多边形外角和”教学案例及点评执教：荆门市京山实验中学/程诗春点评：荆门市教研室/罗昭旭摘自：《荆门教育信息网》我们的数学教材、数学教师乃至数学教学总是那么一幅正儿八经的数学面孔：抽象化、符号化、程式化，使得原本生气勃勃的青少年对数学望而生畏.但实际情况是，实践活动产生了数学，社会生活充满了数学，我们何不将数学的“真实”（背景、情境、发生过程等）再现给孩子们！本此目的，在执教多边形外角和时，作了如下尝试.课例：首先，由多边形的内角和引出课题：多边形的外角和。结合图形（如下图所示），老师和学生共同明确了多边形的外角及外角和的意义后，提出问题：请你想一想，下列图中三角形、四边形和五边形的外角和m3、m4及m5，哪个大？然后分组计算讨论.T：同学们有什么发现？S1：它们的外角和总是360°，与边数无关.T：那为什么多边形的内角和与边数有关，而多边形的外角和总是一个周角呢？你不感觉到意外吗？(激发求知欲望）S2：可以用内角和（n－2).180°来说明它的正确性.（具体推导略）T：不错.哪位同学能有更确切的见解？比方说你们由周角会想到什么？(点击思维火花）S3：每个顶点处转动一个角度，正好联成一个周角.T：S3的见解太妙了，转了一圈就是一个周角，360°就是转了一圈.那么同学们会转圈吗？(刺激活动兴趣）S：（齐答）会！我们每天早锻炼跑步就是在操场上转圈.T：（如图）清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步.请思考：问题(1)：小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图上标出.问题(2)：他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？S1：小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角分别是∠1、∠2、∠3、∠4、∠5.S2：我想小明在点A处第1次转身前后视线夹角为∠1，同样在点B处第2次转身可得∠2，在C处第3次转身得∠3，在点D处第4次转身得∠4，点E处第5次转身得∠5后，他与他原来方向一致，刚好转了一圈，由此我想这五个外角的和是3600.[学生对问题（1）、（1）的解决充分展示了他们思考的全程，同时也充分说明给学生足够的时间和空间思考，他们会结合自己的生活经验去认识数学，形成数学结论，知识的形成过程与学生的能力同成长.]S3：沿各边行走，应该说他的视线恰好扫过了一圈.S4：我在某一顶点沿各边方向转动一圈，恰好形成一个周角.T：好极了，S4回答得真精彩！作为一名数学教师，今天我总算明白了为什么多边形的外角和总是360°.周而复始，原来如此！现在我们把转圈的过程搬到黑板上来.（教师拿来出圆规，使一边与六边形的一边重合，另一边沿着各边方向旋转……，直至最终重合在一起，形成周角）此时所旋转的各角与各外角是什么关系？（自然过渡，恰到好处的抽象.）S5：所旋转的各角与各外角是同位角. S6：这相当于在一个顶点处分别作各边的平行线而并未改变外角的大小.T：Very good!一语道破了天机！可见数学原本是实际生活的产物.（从具体到抽象，又从抽象回到具体实际，再现了“数学----生活”的主题.）T：好，非常好！我们已经实实在在地“看”到了多边形的外角和为周角这一有趣的结论.这里不妨再回头比较一下它和多边形内角和的联系与区别.（照应前面S2说过的话）S7：根据内角与外角互为邻补角，可以由内角和推导出外角和.S8：多边形内角和随边数增加而增加，而外角和始终为周角.S9：（举手）老师，也可以由外角和推导内角和.T：太好了！其实在前面探讨多边形内角和时，我们是以三角形内角和为基础的，而用外角和来推导多边形的内角和更为方便.请大家填写下列表格，作为课外的探讨.多边形顶点的个数内外角总和内角和外角和333×180°180°360°445566……………nn反思：上完这节课，我有一种如愿以偿的快慰.说实话，从事数学教学以来，我一直在努力，在追求，在探索，但始终未能跳出“灌输”的窠臼.应该说也是在没完没了的“转圈”，就像多边形外角和为360°，不知教了多少遍，但每次都是轻松地带过，而未能真真切切地“看”到这个“圈”.直到今天，在这个“转圈”的过程中，教师和学生们得到的不仅仅是一个周角，而是一种思想方法，一种全新的理念及其课程观.点评：传统的数学教学总是从定理到定理，用公式推公式，数学知识真实而生动的背景、情景及发生过程被掩盖得严严实实.比如多边形的外角和，我们总是用内角和一证了之，没有任何探究过程，更谈不上有学生的亲身体验.本节课打破惯例，在师生共同的“转圈”活动中观察、体验，让学生真正看到了多边形外角和是一个周角，再现了数学知识的真实背景及其本质内涵，学生当然不会把360°当作一个简单的数据去记忆了.它留给孩子们的不再是枯燥无味的数字和公式，而是鲜活又纯真的“梨子的滋味”，天经地义的结果和“原来如此”的感悟.