集合
1.理解的概念；2.掌握的两种表示方法；3.会正确使用符号这三个学习目标即可 1.点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，则是论中原始的、不加定义的概念.一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个，也简称集.一般用大括号表示，例如“汽车，飞机，轮船”等交通运输工具组成的可以写成｛汽车、飞机、轮船｝为了方便.我们还通常用大写的拉丁字母A、B、C……表示，例如A＝｛a,b,c｝.2.中的元素中的每个对象叫做这个的元素.例如“中国的直辖市”这一的元素是：北京、上海、天津、重庆.中的元素常用小写的拉丁字母a,b,c，…表示.如果a是A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是A的元素，就说a不属于A，记作a A.3.中元素的特性(1)确定性 对于A和某一对象x，有一个明确的判断标准是x∈A，还是x A，二者必成其一，不会模棱两可.例如，“著名的数学家”，“漂亮的人”这类对象，一般不能构成数学意义上的，因为找不到用以判别每一具体对象是否属于的明确标准.(2)互异性.对于一个给定的，它的任何两个元素都是不同的；因此，中的相同元素只能算作一个，如方程x2-2x+1=0的两个等根，x1＝x2＝1，用记为｛1｝，而不写为｛1，1｝，如果把｛1，2，3｝，｛2,3,4｝的元素合并起来构成一个新，那么新只有1，2，3，4这四个元素.(3)无序性 中的元素是不排序的，如｛1，2｝与｛2，1｝是同一个，但实际上在书写时还是按一定顺序书写的，如｛-1，0，1，2｝而不写成｛0，1，-1，2｝，这样写不方便，其更深刻的含义是揭示了元素的“平等地位”.4.表示法(1)列举法 将中的所有元素一一列举出来，写在大括号内.(2)描述法 用描述表示的，对其元素的属性要准确理解.例如，｛y｜y=x2｝表示函数y值的全体，即｛y｜y≥0｝；｛x｜y＝x2｝表示自变量x的值的全体，即｛x｜x为任一实数｝；｛x,y｜y=x2｝表示抛物线y=x2上的点的全体，是点集(一条抛物线)；而｛y=x2｝则是用列举法表示的单元素集，也就是只有一个元素(方程y=x2)的有限集.(3)图示法 为了形象地表示，我们常常画一条封闭曲线，用它的内部来表示一个，例如，如图可表示｛1,2,3,4｝5.特定表示法自然数集(或非负整数集)，记作N，自然数集内排除0的集，也称正整数集，记作N*或N+(注意，自然数集包括0)；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；Z，Q，R等数集内排除0的集，分别表示为Z*(或Z+)，Q*(或Q+)，R*(或R+).6.的分类①有限集：含有限个元素的叫做有限集.例如：A＝｛1,2,3,4｝②无限集：含有无限多个元素的叫做无限集.例如：N+③空集：不含任何元素的称为空集.例如：方程x2+2x+3=0在实数范围内的解集. 例1 下列各组对象能否构成一个?指出其中的是无限集还是有限集?并用适当的方法表示出来.(1)直角坐标平面内横坐标与纵坐标互为相反数的点；(2)高一数学课本中所有的难题；(3)方程x4+x2+2＝0的实数根；(4)图甲中阴影部分的点(含边界上的点).图甲 图乙 解：(1)是无限.其中元素是点，这些点要满足横坐标和纵坐标互为相反数.可用两种方法表示这个：描述法：｛(x,y)｜y＝x｜｝；图示法：如图乙中直线l上的点.(2)不是.难题的概念是模糊的不确定的，实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”.因而这些难题不能构成.(3)是空集.其中元素是实数，这些实数应是方程x4+x2+2=0的根，这个方程没有实数根，它的解集是空集.可用描述法表示为：或者｛x∈R｜x4+x2+2=0｝.(4)是无限.其中元素是点，这些点必须落在图甲的阴影部分(包括边界上的点).图甲本身也可看成图示法表示，我们还可用描述表示这个；｛(x,y)｜-1≤x≤2，- ≤y≤2，且xy≤0｝例2 下面六种表示法：(1)｛x＝-1，y=2｝，(2)｛(x,y)｜x=-1,y=2｝，(3)｛-1，2｝，(4)(-1，2)，(5)｛(-1，2)｝，(6)｛(x,y)｜x＝-1或y＝2｝，能正确表示方程组 的解集的是：A. (1)(2)(3)(4)(5)(6) B.(1)(2)(4)(5)C.(2)(5) D.(2)(5)(6)分析 由于此方程组的解是 因而写成时，应表示成一对有序实数(-1，2).解：因为｛(x,y)｜ ＝｛(x,y)｜ ＝｛(-1，2)｝故选C.评析 (1)既非列举法，又非描述法.(3)表示由-1和2两个数组成的.(4)是一个点.(6)中的元素是(-1，y)或(x,2)，x,y∈R是一个无限集.以上均不合题意.例3 用符号∈或 填空.(1)3.14 Q，0 N， Z，(-1)0 N，0 (2)2 ｛x｜x＜ ＝，3 ｛x｜x＞4｝， + ｛x｜x≤2+ ｝；(3)3 ｛x｜x＝n2+1，n∈N｝，5 ｛x｜x＝n2+1，n∈N｝；(4)(-1，1) ｛y｜y＝x2｝,(-1,1) ｛(x,y)｜y＝x2｝解：(1)∈、∈、 、∈、 (空集不含任何元素)；(2)2 ＝ ＞ ，3 ＝ ＞ ＝4，+ ＝ ＝ ＜ ＝ ＝2+ ，故填 、∈、∈；(3)令n2+1=3，n＝± n N.令n2+1＝5， n＝±2，2∈N，故填 、∈；(4) ，∈.(因为｛y｜y＝x2｝中元素是数而(-1，1)代表一个点)例4 用另一种形式表示下列(1)｛绝对值不大于3的整数｝(2)｛所有被3整除的数｝(3)｛x｜x＝｜x｜，x∈Z且x＜5｝(4)｛x｜（3x-5）(x+2)(x2+3)＝0，x∈Z｝(5)｛(x,y)｝｜x+y=6，x∈N+，y∈N+｝解：(1)绝对值不大于3的整数｝还可以表示为｛x｜｜x｜≤3，x∈Z｝，也可表示为｛-3，-2，-1，0，1，，2，3｝；(2)｛x｜x＝3n，n∈Z｝；(说明：｛被3除余1的整数｝可表示为｛x｜x=3n+1,n∈Z｝)；(3)∵x＝｜x｜，∴x≥0，又∵x∈Z且x＜5，∴｛x｜x＝｜x｜，x∈Z且x＜5｝还可以表示为｛0,1,2,3,4｝(4)｛-2｝(注意x∈Z｝)(5)｛(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)｝例5。用另一种形式表示下面的：｛x｜(2x-1)(x+2)(x2+1)=0,x∈Z｝.错误解答 的元素x是由方程(2x-1)(x+2)(x2+1)＝0的根组成的，解方程，得x＝ ，x＝-2，x＝ ∴ 原可以表示为｛ ，-2， ｝错误存在于解方程的过程和最后的表示当中，解方程时应注意到x2+1≠0，x∈R，所以，方程的根为x＝ ，x＝-2.注意到已知条件x∈z R，才不致造成错误.因为 Z 所以，正确答案应为｛-2｝或写作｛x｜x=-2｝.例6 已知A＝｛x｜x＝a+b ，a,b∈Z｝，分析判断下列元素x与A之间的关系：(1)x＝0，(2)x＝ ，(3)x＝ .分析 x与A的关系只有x∈A和x A两种.判断x是不是A中的元素，即观察x能否写成a+b (a,b∈Z)的形式.解：(1)因为0＝0+0× ，所以0∈A.(2)因为x＝ ＝ - ，无论a、b为何整数，a+b ＝ - 不能成立，所以x＝ A.(3)因为x＝ ＝ ＝1+2 ，所以 ∈A.评析 研究元素与的关系，一要注意的表示方法(列举法或描述法)，二要准确判断元素的属性.例7 已知A＝｛p｜x2+2(p-1)x+1=0,x∈R｝，求一次函数y＝2x-1，x∈A的取值范围.分析 关键是理解A中元素的属性.p的取值范围必须满足关于x的一元二次方程x2+2(p-1)x+1=0有实数根.解：由已知，Δ＝4(p-1)2-4≥0.得p≥2或p≤0.所以A＝｛p｜p≥2或p≤0｝.因为x∈A，所以x≥2或x≤0，所以2x-1≥3或2x-1≤-1，所以y的取值范围是｛y｜y≤-1或y≥3｝. - 推荐阅读：
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