集合

一、知识结构

本小节首先从初中代数与几何涉及的实例人手，引出与的元素的概念，并且结合实例对的概念作了说明.然后，介绍了的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示的例子.

二、重点难点分析

这一节的重点是的基本概念和表示方法，难点是运用的三种常用表示方法正确表示一些简单的.这一节的特点是概念多、符号多，正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键.为此，在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题目，以帮助学生提高判断能力，加深理解的概念和表示方法.

1.关于牵头图和引言分析

章头图是一组跳伞队员编成的图案，引言给出了一个实际问题，其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这个实际间题，必须用到和逻辑的知识，也就是把它数学化.一方面提高用数学的意识，一方面说明和简易逻辑知识是高中数学重要的基础.

2.关于的概念分析

点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，则是论中原始的、不加定义的概念.

初中代数中曾经了解“正数的”、“不等式解的”；初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的”等等.在开始接触的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识.教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个，也简称集.”这句话，只是对概念的描述性说明.

我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念，从而阐明概念如同其他数学概念一样，不是人们凭空想象出来的，而是来自现实世界.

3.关于自然数集的分析

教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意.

新的国家标准定义自然数集N含元素0，这样做一方面是为了推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，以便早日与之接轨，另一方面，0还是十进位数｛0，1，2，…，9｝中最小的数，有了0，减法运算 仍属于自然数，其中 .因此要注意几下几点：

    （1）自然数与非负整数是相同的，也就是说自然数集包含0；

    （2）自然数集内排除0的集，表示成 或 ，其他数集{如整数集Z、有理数集Q、实数集R}内排除0的集，也可类似表示 ， ， ；

    （3）原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的符号如 ， ， …不再适用.

    4.关于中的元素的三个特性分析

中的每个对象叫做这个的元素.例如“中国的直辖市”这一的元素是：北京、上海、天津、重庆。

中的元素常用小写的拉丁字母 ，…表示.如果a是A的元素，就说a属于A，记作 ；否则，就说a不属于A，记作

    要正确认识中元素的特性：

    （l）确定性： 和 ，二者必居其一.

    中的元素必须是确定的.这就是说，给定一个，任何一个对象是不是这个的元素也就确定了.例如，给出{地球上的四大洋}，它的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋.其他对象都不用于这个.如果说“由接近 的数组成的”，这里“接近 的数”是没有严格标准、比较模糊的概念，它不能构成.

    （2）互异性：若 ， ，则

中的元素是互异的.这就是说，中的元素是不能重复的，中相同的元素只能算是一个.例如方程 有两个重根 ，其解集只能记为｛1｝，而不能记为｛1，1｝.

    （3）无序性：｛a，b｝和｛b，a｝表示同一个.

    中的元素是不分顺序的.和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l，0）和点（0，l）表示不同的两个点，而｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个.

    5.要辩证理解和元素这两个概念

    （1）和元素是两个不同的概念，符号和是表示元素和之间关系的，不能用来表示之间的关系.例如 的写法就是错误的，而 的写法就是正确的.

    （2）一些对象一旦组成了，那么这个的元素就是这些对象的全体，而非个别现象.例如对于 ，就是指所有不小于0的实数，而不是指“ 可以在不小于0的实数范围内取值”，不是指“ 是不小于0的一个实数或某些实数，”也不是指“ 是不小于0的任一实数值”……

    （3）具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件.

    6.表示的方法所依据的国家标准

本小节列举法与描述法所使用的的记法，依据的是新国家标准如下的规定.

此外， 有时也可写成 或

7.的表示方法分析

有三种表示方法：列举法、描述法、图示法.它们各有优点.用什么方法来表示，要具体问题具体分析.

（l）有的可以分别用三种方法表示.例如“小于 的自然数组成的”就可以表为：

①列举法： ；

②描述法： ；

③图示法：如图1。

（2）有的不宜用列举法表示.例如“由小于 的正实数组成的”就不宜用列举法表示，因为不能将这个中的元素—一列举出来，但这个可以这样表示：

①描述法： ；

②图示法：如图2.

（3）用描述法表示，要特别注意这个中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解的意义.例如：

① 中的元素是 ，它表示函数 中自变量 的取值范围，即 ；

② 中的元素是 ，它表示函数值。的取值范围，即 ；

③ 中的元素是点 ，它表示方程 的解组成的，或者理解为表示曲线 上的点组成的；

④ 中的元素只有一个，就是方程 ，它是用列举法表示的单元素.

实际上，这是四个完全不同的.

列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法.要注意，一般无限集，不宜采用列举法，因为不能将无限集中的元素—一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定.

    8.的分类

含有有限个元素的叫做有限集，如图1所示.

含有无限个元素的叫做无限集，如图2所示.

9.关于空集分析

不含任何元素的叫做空集，记作 .空集是个特殊的，除了它本身的实际意义外，在研究、的运算时，必须予以单独考虑.
教学设计方案

知识目标：

（1）使学生初步理解的概念，知道常用数集的概念及其记法

（2）使学生初步了解“属于”关系的意义

（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

能力目标：

（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；

（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；

（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；                           

德育目标：

激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

教学重点：的基本概念及表示方法

教学难点 ：运用的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的

授课类型：新授课

课时安排：2课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程 ：

一、复习引入：

1.简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；

2.教材中的章头引言；

3.论的创始人——康托尔（德国数学家）；

4.“物以类聚”，“人以群分”；

5.教材中例子（P₄）。

二、讲解新课：  

阅读教材第一部分，问题如下：

（1）有那些概念？是如何定义的？

（2）有那些符号？是如何表示的？

（3）中元素的特性是什么？

（一）的有关概念（例子见书）：

1、的概念

（1）：某些指定的对象集在一起就形成一个。

（2）元素：中每个对象叫做这个的元素。

2、常用数集及记法

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的。记作N

（2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N^*或N₊

（3）整数集：全体整数的。记作Z

（4）有理数集：全体有理数的。记作Q

（5）实数集：全体实数的。记作R

注：

（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。

（2）非负整数集内排除0的集。记作N^*或N₊ 、Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z^*

3、元素对于的隶属关系

（1）属于：如果a是A的元素，就说a属于A，记作a∈A；

（2）不属于：如果a不是A的元素，就说a不属于A，记作 .

4、中元素的特性

（1）确定性：

按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个里，或者不在，不能模棱两可。

（2）互异性：

中的元素没有重复。

（3）无序性：

中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）

注：

1、通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

2、“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写。

练习题

1、教材P₅练习

2、下列各组对象能确定一个吗？

（1）所有很大的实数。 （不确定）

（2）好心的人。       （不确定）

（3）1，2，2，3，4，5.（有重复）

阅读教材第二部分，问题如下：

1.的表示方法有几种？分别是如何定义的？

2.有限集、无限集、空集的概念是什么？试各举一例。

（二）的表示方法

1、列举法：把中的元素一一列举出来，写在大括号内表示的方法。

例如，由方程 的所有解组成的，可以表示为{-1，1}.

注：（1）有些亦可如下表示：

从51到100的所有整数组成的：{51，52，53，…，100}

所有正奇数组成的：{1，3，5，7，…}

（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个，该只有一个元素。

描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个，并把这个条件写在大括号内表示的方法。

格式：{x∈A| P（x）} 

含义：在A中满足条件P（x）的x的。

例如，不等式 的解集可以表示为： 或

      所有直角三角形的可以表示为：

注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。

        如：{直角三角形}；{大于10⁴的实数}

（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}

3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个的方法。

注：何时用列举法？何时用描述法？

（1） 有些的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。

如：

（2） 有些的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。

如： ；{1000以内的质数}

注： 与 是同一个吗？

答：不是。

是点集， = 是数集。

（三） 有限集与无限集

1、  有限集：含有有限个元素的。

2、  无限集：含有无限个元素的。

3、  空集：不含任何元素的。记作Φ，如：

练习题：

1、P₆练习

2、用描述法表示下列

①{1，4，7，10，13}            

②{-2，-4，-6，-8，-10}          

3、用列举法表示下列

①{x∈N|x是15的约数}            {1，3，5，15}

②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}  {（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}

注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}

③              

④                {-1，1}

⑤   {（0，8）（2，5），（4，2）}

⑥

 {（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}

三、小    结：

本节课学习了以下内容：

1.的有关概念：（、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集）

2.的表示方法：（列举法、描述法、文氏图共3种）

3.常用数集的定义及记法

四、课后作业 ：教材P₇习题1.1

五、板书设计 ：

六、课后反思：

本节课在教学时主要教会学生学习的表示方法，在认识时，应从两方面入手：

（1）元素是什么？

（2）确定的表示方法是什么？表示时，与采用字母名称无关。

探究活动

【题目】数集A满足条件：若 ，则 （ ）

（1）若 ，试求出A中其他所有元素；

（2）自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；

（3）从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的这个“道理”.

【参考答案】

（1）其他所有元素为－1， .

（2）略

（3）A中只能有3个元素，它们分别是 ， ， 且三个数的乘积为－1.