第二章：2·3相反数 2·4绝对值
【教学目标】
1、使学生能够理解相反数与绝对值的意义；
2、使学生能够掌握绝对值的性质；
3、使学生能够求出一个数的相反数和绝对值；
4、使学生能够利用绝对值比较两个负数的大小。
【知识讲解】
一、本讲主要知识点
1、相反数意义；
2、相反数的表示；
3、绝对值的意义；
4、绝对值的性质；
5、有理数大小比较法则。
其中求一个数的绝对值是本讲的重点，而利用绝对值进行两个负数的大小比较是难点。
下面我们概述一下这五个知识点的主要内容：
1、相反数的意义
对于3与-3这两个有理数，它们只有符号不同，一正一负，在数轴上表示这两个数的点（如图），分别在原点的两旁，且与原点的距离相等，都等于3。
3
3
-4
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
像3与-3这样只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数，即3的相反数是-3，-3的相反数是3。
由上面的图我们对相反数的意义也可以作如下理解：在数轴上表示两个数的点分别在原点的两旁并且与原点距离相等，满足这两个条件的两数称为互为相反数。零的相反数是零。
2、相反数的表示：如果a表示任意一个有理数，那么-a就是a的相反数。并规定+0=0,-0=0.
3、绝对值的意义：
我们知道，3与-3互为相反数，在数轴上表示这两个数的点，与原点的距离相等都等于3，这个距离3就是3与-3的绝对值。所以对一个数的绝对值意义可用如下理解：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。如|3|=3，|-3|=3，|- |= ，| |= 等。
4、绝对值的性质
（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）一个负数的绝对值是它的相反数；
（3）0的绝对值是0。
即|a|=
注意：
（1）由于|a|表示数轴上表示数a的点到原点的距离，故|a|是一个非负数，即|a|≥0；
（2）|a|=|-a|
5、有理数的大小比较法则
（1）正数大于零；（2）零大于一切负数；（3）正数大于负数；
（4）两个正数，绝对值大的数较大；（5）两个负数，绝对值大的反而小。
二、典型例题：
例1、填空题
（1）-5.7的相反数是 ；
（2）- 的是 的相反数；
（3） 与 互为相反数； 与 互为倒数；
（4）3的倒数的相反数是 。
分析：要正确区分相反数和倒数这两种不同的概念， 的倒数是 。而 的相反数是- 。相反数是成对出现的，称为互为相反数。
解：（1）5.7；（2） ；（3）- ， ；（4）- 。
说明：要正确理解相反数的意义。“数轴上原点两旁的两个点的表示的数是相反数”及“符号不同的两个数互为相反数”这两种说法都是错误的。
例2、求出下列各数的相反数。
（1） ；（2）- ；（3）m-1；（4）4n2
分析：数a的相反数是-a，a可以是正数、负数、0。如- 的相反数是-（- ），即 。共5页，当前第1页12345
解：（1）- ；（2） ；（3）-（m-1）；（4）-4n2。
说明：由于字母a所表示的数可以是正数、负数、0。故说“+a是一个正数”是错误的。
例3、简化下列各数前面的多重符号
（1）-（+7）；（2）+（-5）；（3）-（-3.2）；（4）-[+（-2）]；（5）-[-（-3）]
分析：对于多重符号的化简可根据相反数的意义进行，如-[-(-3)]表示-3的相反数的相反数，因-3的相反数是3，所以-[-(-3)]=-3。即根据数前面的“-”号的个数来判定：若“-”号个数为奇数，结果为负；若“-”号个数为偶数，结果为正。
解：（1）-(+7)=-7； （2）+(-5)=-5；
（3）-(-3.2)=3.2； （4）-[+(-2)]=2；
（5）-[-(-3)]=-3。
例4、求下列各数的绝对值
（1）-4； （2）1 ； （3）-1.32；
分析：解此题时，首先要判定这些数的符号，如-4是负数，1 是正数，然后根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，写出结果，如|-1.32|=-(-1.32)=1.32。
解：（1）|-4|=4； （2）|1 |=1 ； （3）|-1.32|=1.32。
例5、填空题
（1）+5的符号是 ，绝对值是 ；
（2）绝对值是4的数有 个，它们是 ；
（3）符号是“-”，绝对值是0.5的数是 ；
（4） 的绝对值是0；
（5） 的绝对值等于它本身；
（6）若|a|=-a，则a为 ；
（7）若|-x|=4，则x= ；
（8）若|x|=0.6且x<0，则x= ；
（9）绝对值小于3的整数有 。
（10）若|x-1|+|y+2|=0，则x= ，y= 。
分析：（1）绝对值等于同一正数的有理数有两个，它们互为相反数，如-3与3的绝对值都是3。
（2）若|a|=a，即此数的绝对值等于它本身，这样的数包括正数和0；若|a|=-a，即此数的绝对值是它的相反数，这样的数包括负数和0。
（3）一个数a的绝对值|a|≥0，这是绝对值的一个重要性质，因为|x-1|≥0,|y+2| ≥0，又|x-1|+|y+2|=0，所以|x-1|=0，|y+2|=0，即x=1，y=-2.
解：（1）+，5； （2）2，4和-4； （3）-0.5； （4）0
（5）非负数； （6）非正数； （7）±4； （8）-0.6 （9）±1、±2，0
（10）1，-2
说明：（1）4和-4可以合并记为±4，同样有±0.23，± 等；
（2）要熟记：互为相反数的两个数的绝对值相等；即|a|=|-a|任何一个有理数的绝对值是非负数，即|a|≥0。共5页，当前第2页12345
例6、比较下列各对数的大小
（1）-5和-6 （2）- 与-3.14
（3）|- |与0 （4）-[-（- ）]与-|- |
分析：比较两个负数大小时，先要求出它们的绝对值，通过对求得的两个绝对值的比较，来判定原来两数的大小。比较带有多重符号或绝对值号的两数时，先要分别计算或化简，然后再比较。
解：（1）∵|-5|=5，|-6|=6，又5<6 ∴-5<-6。
（2）∵|- |= ≈3.143,|-3.14|=3.14,又3.143>3.14, ∴- <-3.14。
（3）∵|- |= ∴|- |>0
（4）∵-[-（- ）]=- -|- |=-
又|- |= = |- |= <
∴-[-（- ）]>-|- |
例7、计算
(1)|-2|+|-3|+|+1| (2)|-1 |×|+2|
(3)|-[-(-4)]|+|22-4| (4)|1-4|+|+21|+|-|-3||
解：(1)原式=2+3+1=6
(2)原式=
(3)原式=4+0=4
(4)原式=6+3=9
【一周一练】
1、判断题
（1）符号不同的两个数一定互为相反数。
（2）3.25与-3 互为相反数。
（3）任何一个数的绝对值不可能是负数。
（4）绝对值等于本身的数都是正数。
（5）数轴上表示a的相反数的点一定在原点的左边。
（6）若甲数的绝对值比乙数的绝对值大，那么甲数一定比乙数大。
（7）若|x|=-2，则x=-2。
2、填空题
（1）-4.5与 互为相反数；0的相反数是 ；+3的倒数的相反数是 ； 的相反数的绝对值是 ；
（2）m-n的相反数是 ；
（3）绝对值等于3的数有 个，它们是 ；
（4）绝对值最小的数是 ；
（5）|-7.25|-|-5 |= ；
（6）绝对值不大于2的整数是 ；
（7）若|-x|=3，则x= 。
（8）若|a-3|+|b+1|=0，则2a+b= ；
（9）在数轴上，m点表示的数3，那么与m点相距4个单位长度的点所表示的数是_______；
（10）若a>0,b<0，a<|b|，则用“>”连接a,b,-a,-b应是 。
(11)若x,y互为相反数，则x+2x+3x+4x+5x+5y+4y+3y+2y+y= 。
3、选择题
（1）一个数的绝对值的相反数是-3，则此数是（ ）
a、3 b、-3 c、3或-3 d、以上都不对
（2）下列说法中，正确的是（ ）
a、若a不是负数，则a必是正数； b、-|a|是负数；共5页，当前第3页12345
c、1是最小的正整数； d、-1是最大的负数；
（3）+（-1）与-1，-（+2）与+2，-（-3）与+（-3），-（+4）与+（-4），-（-5）与+（+5），+6与+（-6），以上各对数中，互为相反数的有（ ）
a、3对 b、4对 c、5对 d、6对
（4）若|a|>|b|，则（ ）
a、a>b b、a<b c、a,b同号时a>b d、a,b同为负数时a<b
4、化简
(1)-(- )= (2)-(+ )=
(3)+(-0.2)= (4)-[+(- )]=
(5)-[-(- )]= (6)+[（+1.3）]=
5、比较大小（用“>”,“<”或“=”填空）
（1）0.1 -10, （2）0 -5， （3）| | |- |，
（4）|-3 | -3 ， （5）-|-3| -（+3）， （6）- -|- |
（7）- -0.273
6、计算：
（1）|-3|+|+(-4)|-|-(-1)|； （2）|-1 |×|-(+3)|
7、当1<x<4时，化简|4-x|时，化简|4-x|+|1-x|
8、已知|a|=5，|b|=7,a>b且ab<0，求a和b的值。
【一周一练答案】
1、判断题
（1）× （2）√ （3）√ （4）× （5）× （6）× （7）×
2、填空题
（1）4.5,0,- , ； （2）-(m-n)； （3）2,±3；
（4）0； （5）1.75 ； （6）±1, ±2,0；
（7）±3； （8）5； （9）7或-1； 共5页，当前第4页12345
（10）-b>a>-a>b； (11)0
3、选择题
（1）c （2）c （3）a （4）d
4、(1) (2)- (3)-0.2 (4) (5)-3 (6)-1.3
5、（1）> （2）> （3）< （4）> （5）= （6）> （7）>
6、（1）6； （2）10
7、当1<x<4 时，4-x>0，1-x<0，
|4-x|+|1-x|=4-x+x-1=3.
8、由|a|=5得a=±5, |b|=7得b=±7
又a>b且ab<0
a=5,b=-7