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函数的单调性

课题:§1.3.1

教学目的:(1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;

(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质;

(3)能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性.

教学重点:函数的单调性及其几何意义.

教学难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性.

教学过程:

一、引入课题

通过最近比较热门话题的股票作为引题,用上证指数随时间的“跌”、“涨”以及人们往往都会在涨到最高点卖出在最低点买进,形象刻画本课的要讲授的概念:函数的单调性以及最大最小值。

    师:函数的性质的应用就在我们的生活中,我们的周边,如一天气温随时间的变化等。那我们今天就先来学习函数的单调性。

1.  画出下列函数的图象,观察其变化规律:

1)f(x) = x

    1 从左至右图象上升还是下降 ______?

    2 在区间 ____________ 上,随着x的增大,f(x)的值随着 ________ .

2)f(x) = -2x+1

    1 从左至右图象上升还是下降 ______?

    2 在区间 ____________ 上,随着x的增大,f(x)的值随着 ________ .

3)f(x) = x2

    1在区间 ____________ 上,f(x)的值随着x的增大而 ________ .

    2在区间 ____________ 上,f(x)的值随着x的增大而 ________ .

    问题设计的目的大体从三个层次上展开。首先画出图像并观察图像,描述变化规律,如上升、下降,从几何直观角度加以认识;然后,结合图、表,用自然语言描述,即y随x的增大而增大(或减小);最后,用数学符号语言描述变化规律,逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。问题链的设计由具体到抽象,由特殊到一般,由远及近,一步一步地促使学生形成概念。

问题1: 列表描点,画函数f(x)=x2的图像。

x
 …
 -4
 -3
 -2
 -1
 0
 1
 2
 3
 4
 …
 
f(x)=x2
 …
 16
 9
 4
 1
 0
 1
 4
 9
 16
 …
 
   

意图:列表描点(自变量取值总是从小到大的选取,这与考察函数单调性时自变量总是从小到大取值是一致的,这也是学生早就熟悉的。这样可以不必讨论,函数在某区间上递增是指从左到右的问题),通过计算函数值可以体验当自变量从小到大取值时,对应的函数值的大小变化规律。

说明:教师可以按照p37来excel画图。

问题2: 利用画出的图像,请描述函数值增减变化特征。

从函数图像及上述表格可以看出(这并不困难):图象在y轴左侧“下降”,也就是,在区间 上,随着x的增大,相应的f(x)反而减小;图象在y轴右侧“上升”,也就是,在区间 上,随着x的增大,相应的f(x)也随着增大。

意图:几何直观,引导学生关注图形所反映出的特征。借助图像,体验自变量从小到大变化时,函数值大小变化在图形上的表现。                                                   3页,当前第1123

问题3: 当x从小到大变化时,y的值如何变化?

意图:是对前一个问题(直观)的再一次概括,一次自然语言描述。而且,既不能说随着x的增大y增大,也不能说随着x的增大y减小。学生必须分段回答这个问题,体验函数的这一特征是函数的局部特征。

问题4: 比较下列各数的大小。

22,32,42,(4.5)2,(5.1)2,(6.3)2。

就x在(0,+∞)从小到大取值时,具体讨论函数值的大小变化。这不难得到22<32<42<(4.5)2<(5.1)2<(6.3)2。

显然有:当0<x1<x2<x3<x4<x5<x6时,有0<x <x <x <x <x <x 时,即0<y1<y2<y3<y4<y5<y6。

意图:由具体的数字特征逐步向抽象的符号描述过渡。

问题5: 对于函数一个函数f(x),如果-1<2时,有f(-1)<f(2),能否说函数f(x)在区间(-1,2)上递增呢?

问题6: 函数f(x),对于(0,∞)上的无数个自变量的值x1,x2,x3,…,当0<x1<x2<x3<…时,有0<y1<y2<y3<…,能否说函数f(x)在(0,∞)上递增呢?请画图说明。

意图:这两个问题的目的是,逐步由“静态”、“有限”向“动态”、“无限”过渡。回答这些问题需要一定的抽象思维。问题6引导学生用反例说明问题,以便抓住问题的正面特征。

问题7: 在函数y=x2的图像位于y轴右边的部分随便(任意)取两点,横坐标分别是x1,x2,即当0<x1<x2时,是否总有y1<y2呢?

意图:抽象前的铺垫,以“随便”替代“任意”容易被接受。

问题8:  在函数y=x2的图像位于y轴左边的部分任意取两点,横坐标分别是x1,x2,即当 x1<x2<0时,是否总有y1<y2呢?

意图:把“随便”换成“任意”并不突然。任意x1<x2<0时,有y1>y2。而0<x1<x2不变。这样,基本完成难点的突破。

问题9: 在函数y=x2的图像上任意取两点,横坐标分别是x1,x2,当x1<x2时,是否总有y1<y2呢?

意图:函数递增、递减描述需要分段表述。

问题10: 你能否举出一个具体的函数的例子,使得它在区间(-∞,∞)上,对任意x1<x2,总有y1<y2。

意图:学生为寻找例子,会首先从形象直观的角度寻找思考,如f(x)=x。加强几何直观与抽象表述之间的联系。

问题11: 你能否举出一个具体函数的例子,使得它在区间(0,∞)上,对任意x1<x2,总有y1>y2。

意图:使得学生把当前学习的内容与以前学习过的内容联系起来,先有函数性质特征再寻找具体函数的例子。从具体到抽象,从抽象到具体,体验函数的这一特征。

二、提出函数单调性定义

1.增函数

    一般地,设函数y=f(x)的定义域为i,

    如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间d上是增函数(increasing function).

思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义.(学生活动)

意图:培养学生数学表达能力。

问题12:函数f(x)在区间(0,∞)上,总有f(x)>f(0),能否说f(x)在(0,∞)上单调增?请举例说明。

意图:概念辨析。学生容易画出图形来加以说明。从反面进一步体验到,函数单调性中“任意x1<x2,都有f(x1)>f(x2)”中“任意”二字的意义,体验到为什么要在区间上任意取大小不同的两个值。3页,当前第2123