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意味深长的问题倒不一定难

我家住在19楼,相当高,电梯又经常出故障,幸好我脚力很好,可以一口气走上走下,并不感到吃力。从此以后,19这个数字就同我结下了不解之缘。

下面就来说一个由于我住在19楼而特别对19这个数字“刮目相看”的趣题。

在图中所示的方框里分别填入从2到19的18个自然数,既不能重复,也不准遗漏,要求任何两个相邻数字之和均为平方数。

凡是初次接触到本题的人都不免倒吸一口冷气,即使不公开表态,心里也不免发憷,认为题目的要求未免太高了,恐怕很难做出来。

解题者信心不足,有打退堂鼓的意思,这也在情理之中,并不奇怪。

近年来,解题方法的研究蔚然成风,这是一个很好的开始。拿本题来说,找到最小的自然数2,自然可以将它作为一个着力点。由于2+7=9,2+14=16,而9与16又都是平方数,因而可以建立起一个初步的关系链:

下一步是顺藤摸瓜,对于最左端的7来说,可以同它连接的数只可能有两个,即9和18(7+9=16,7+18=25,16和25都是平方数),从而得出了这个扩充之后的关系链:

另外,还容易看出,在9的左端,尚可添加一个符合条件的自然数16(9+16=25),此时,关系链进一步扩充为这样的形状:

但此时,左面已经发展到了山穷水尽的地步,我们只好转变方针,到右面去继续作战。

真是天公作美,右方战线的发展竟是出乎意料地顺利,远非始料所及。一步一个脚印,很快就形成了一条满足题目要求的长链:

“船到桥头自然直”,题目基本上做完了。由于“一字长蛇阵”的形状比较难看,数学史上有过一个很著名的“哥尼斯堡七桥”问题,经过瑞士大数学家欧拉的研究,通过拓扑变换之后,可以变成“一笔画”问题来研究。在这里,我们也可以采用“拓扑变换”的手段,将它改造成以下的图形:

此题覆盖了从2到19的所有18个自然数,不重不漏,一网打尽,可是涉及的平方数搞来搞去却只有4个:9、16、25、36,而且头尾两个数用得也不多,翻来覆去,大显身手的只有16和25,难怪此题解出之后,许多人都夸它意味深长,无法复制。