第十单元《圆》教材分析
圆是小学数学里最后教学的一个平面图形，也是教学的惟一一个曲线图形。本单元在教学圆的基础知识的同时，还通过化曲为直、等积变形这些方法与手段，进一步发展转化的策略和推理能力。全单元的教学内容分成四部分编排。 第93~97页教学圆的形状特点以及圆心、半径和直径。第98~102页教学圆的周长及计算公式。第103~108页教学圆的面积及计算公式。第109~113页全单元内容的整理练习，实践与综合应用。编写的三篇“你知道吗”能培养学生的审美情趣，激发民族自豪感。 1 由表及里，体验圆的特征。生活中的许多物体都有圆形的面，圆的形状已经留在学生的头脑中。教材通过三道例题教学圆的形状特点。 例1说说生活中看到的圆，把教学的话题集中到圆上来。让学生自找工具想办法画一个圆，在画圆的过程中感受圆的边是曲线，这是与以前学过的平面图形的不同之处。教材里没有直接指出圆是曲线图形，把机会留给学生体验和交流。这样，学生在直观认识圆的基础上深入了一步。 例2通过使用圆规画圆以及了解关于圆的几个重要名称，进一步认识圆。用圆规画圆，不仅是规范地使用工具作图，而且在画圆的时候能体会到，圆是铅笔绕固定的一个点旋转一周画成的图形。教材让学生试着用圆规画一个圆，既满足学生“玩中学”的愿望，又让学生在操作中学会画圆的方法。在学生试着画圆时，教材用四张连续的图片，展示了使用圆规画圆的要领： 用尺确定圆规两脚尖的间距；把圆规针尖固定在纸的一个点上；手握旋柄，绕固定的点把圆规旋转一周，画出一条封闭的曲线。这里的展示，对不能独立使用圆规的学生起示范与说明的作用，对能用圆规画圆的学生有提醒操作要领和注意事项的作用。联系圆规画成的圆，教学圆心、半径、直径，对它们的形状、位置和常用的字母分别作了清楚的阐述。如圆心是一个点，是圆规针尖固定的那个点，用字母o表示；半径是线段，一端是圆心、另一端是圆上任意一点，用字母r表示；直径也是线段，通过圆心且两端都在圆上，用字母d表示。教材还让学生在自己画的圆上标出圆心，画出一条半径和一条直径，并用字母表示，体会并内化知识。再经过“练一练”第1题的辨析和度量长度，能更准确地把握半径、直径的概念。 例3安排学生通过画、量、折等活动，深入体验圆的特征。为了帮助学生有效地体验，教材设计了四道讨论题。其中前两道是通过画与量获得体验： 在同一个圆里可以画出无数条半径（直径），且长度都相等。理解“无数条”，感受了线是无数个点的集合；发现“长度相等”，是圆的本质特征，也是车轮和生活中许多物体都做成圆形的原因。后两道题要通过对折圆获得答案，发现直径的长度是半径的2倍，以及圆有无数条对称轴，对圆的认识就更深入了一步。 练习十七在练习基础知识的同时，让学生进一步体会圆，开展数学思考，发展空间观念。如第3题，在画圆时体会大小不同的圆可以有共同的圆心。第4题能体会一个正方形内可以画出许多个大小不同的圆，圆的大小与它的半径有关，其中最大的那个圆的直径与正方形边长相等。第6题在方格纸上平移圆心，圆也随之平移，体会圆心的位置决定圆的位置。第7题体会直径是圆内最长的线段，从而理解测量直径长度的几种常用方法。 2 动手实践，理解圆周率的意义。教学圆的周长共编排三道例题，采取“猜想——验证”和有意义地接受相结合的学习方式。 例4着重教学圆周长的含义，形成圆的周长与它的直径有关的猜想。呈现三个直径不同的自行车车轮的图片，先让学生想像三个车轮各滚动一周，哪一个行的路程比较长。在此基础上，教材指出车轮一周的长度是车轮的周长。从实际问题和生活经验中提炼出数学内容，使原有的周长概念迁移到新的图形上来。比较三个车轮的直径和周长，能直观地看到直径长的车轮周长长些，直径短的车轮周长也短。由此形成圆的周长与它的直径有关的猜想，开启了探索圆周长计算公式的大门。 例5组织学生从实验中体会圆的周长与直径是什么样的关系，为最终形成圆周长的计算公式铺平道路。在编写上有五个特点： 一是小组合作学习，集体进行探索活动，便于测量圆的周长；二是用硬纸板剪4个大小不同的圆，让小组里的每一个人都有动手实验的机会；三是要求学生想办法测量剪出的圆的周长，鼓励方法创新，主动体验化曲为直的转化策略；四是明确了探索的方向是计算每个圆的周长除以直径的商，研究周长与直径间的倍数关系；五是设计了一张记录实验数据的表格，每个学生都能把在小组里测量、计算的结果填在表格中，便于从四组数据，尤其是四个周长除以直径的商的比较中，发现规律。 学生的实验充其量只能发现一个圆的周长总是直径的3倍多一些，这是测量工具、方法和误差决定的。因此，教材在例5的后面继续教学圆周率的知识。讲了四点内容： 圆的周长除以直径的商是一个固定的数，叫做圆周率；圆周率用字母π表示;π是一个无限不循环小数；计算时一般取π的近似值314。学生以自己的实验为基础，能够有意义地接受圆周率。并根据周长（c）直径（d）=π，得出圆周长的计算公式c=πd或c=2πr。得出周长公式以后，计算圆周长的问题安排在“试一试”和“练一练”里面，让学生独立完成，通过应用记住公式。 例6是已知圆的周长，求直径的问题，选择列方程的方法解答有两个原因： 一是思路比较顺畅。由于已知圆的周长，所以很自然地会想到周长公式。于是，把周长公式作为等量关系，列方程解答的思路也就随之产生。二是有利于形成良好的认知结构。应用圆的周长公式，既能解决已知直径（半径）求周长的问题，又能解决已知周长求直径（半径）的问题。学生体会到这些 ，对周长公式的理解和掌握就更深刻、更全面。例题把教学重点放在这样的问题为什么列方程解答以及列方程依据什么样的等量关系上，把解方程留给学生完成。这道题涉及四位数除以三位数，所以使用计算器计算。按照《标准》的要求，三位数乘两位数、三位数除以两位数，一般笔算。数据更大的乘、除计算，一般使用计算器。 3 引导探索，指导应用圆的面积公式。圆是曲线图形，推导它的面积公式比直线图形困难得多。在应用面积公式时，还涉及新的运算顺序。因此，编排四道例题，组织学生探索圆的面积公式，并对应用公式求面积的计算作细致的指导。 例7用数方格的方法求圆面积。在求图形的面积时，经常使用数方格的方法，虽然有时不能得到精确的结果，仍然是一种有效的方法。尤其对这里的图形，数方格不仅能知道面积大约是多少，而且对探索面积公式有启发作用，这些都是例题的编排意图。分别以边长4厘米、3厘米、5厘米的正方形的边为半径画一个圆，数方格求圆的面积，这样设计有两个好处： 一是圆的14在正方形里面，34在正方形外面，只要数出14个圆的面积，再乘4就得到整个圆的面积。既省时省力，又能避免数错。二是正方形的边长与圆的半径相等，正方形的面积与半径的平方相等。因此，圆面积与正方形面积的倍数关系就是圆面积与它的半径平方的倍数关系。后者正是圆面积公式的内涵所在。为了引起学生对圆面积与半径平方的关系的注意，教材设计的表格里，把半径这一栏放在正方形面积和圆面积的中间。通过填写半径的长度，体会它与正方形的边长相等，从而联想边长乘边长相当于半径的平方。在计算圆面积大约是正方形面积的几倍之后，由“大象”卡通提出“圆面积与它的半径有什么关系”的问题，体会圆面积与它半径的平方可能存在确定的倍数关系，并带着这个悬念教学下一道例题。 例8把圆等积变形成长方形，探索圆面积的计算公式，在编写上有三个特点： 一是让学生联系已有的空间经验和图形知识，通过形象思维体会圆平均分的份数越多，拼成的图形越接近长方形，隐含了极限思想；二是组织学生比较拼成的长方形和原来的圆有什么联系，在交流中充分理解长方形的面积与圆的面积相等，长方形的长是圆周长的一半，长方形的宽是圆的半径；三是展开了从长方形面积公式推导圆面积公式的思维全过程，突出了用πr替代长方形的长，r替代长方形的宽，以及把πr×r改写成πr2这三个关键点。 例9应用面积公式计算圆的面积，怎样写算式和怎样运算是教学重点。算式314×52是依据面积公式πr2列出的，读作三点一四乘五的平方。算式里的平方应该先算，这里没有把它作为一条运算顺序教学，仅指导学生先算3.14×52里的52是多少。“练一练”里已知圆的直径是8厘米，求圆的面积。可以分步列式，先用8÷2=4（厘米）求得半径，再用3.14×42求圆的面积。也可以列成综合算式3.14×822，要提醒学生为82添上括号，保证先算圆的半径，不可以列成3.14×822。 例10求环形的面积，是与圆有关的组合图形的面积，着重教学解决问题的思路。通过图示直观呈现环形，帮助学生理解铁片面积是两个圆面积的差，从而得出解题步骤是先分别算两个圆的面积，再把它们的面积相减。在理出解题步骤以后，让学生分步解答，进一步掌握圆的面积公式。如果列综合算式3.14×102-3.14×62求铁片面积，就能把算式改变成3.14×(102-62)，使计算比较简便。 “试一试”和练习中的组合图形都是由两个基本图形组成的，组合图形的面积或者是两个基本图形的面积和，或者是面积的差。两个基本图形中至少有一个图形是半圆形，计算半圆的面积应该是圆的面积除以2。